[論文レビュー] Poissonization of Three Dimensional Nonholonomic Dynamics with the Method of Extension

Naoki Sato|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 45被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非可積分3次元系を4次元拡張位相空間に埋め込み、反対称作用素が共形係数を除いてジャコビ恒等式を満たすようにすることで、系をポアソン化する体系的な手法を提示する。時間再パrametrizationにより、力学はハミルトニアン形式に変換され、正準位相空間と、元の系の反対称作用素のホリシティ密度によって制御される非ボルツマン平衡分布関数の構築が可能になる。

ABSTRACT

In this study we develop a systematic procedure to construct a Poisson operator that describes the dynamics of a three dimensional nonholonomic system. Instead of reducing by symmetry the antisymmetric operator that links the energy gradient to the velocity on the tangent bundle, the system is embedded in a larger space. Here, the extended antisymmetric operator, which preserves the original equations of motion, satisfies the Jacobi identity in a conformal fashion. Thus, a Poisson operator can be obtained by a further time reparametrization. Such Poissonization does not rely on the specific form of the Hamiltonian function. The theory is applied to calculate the equilibrium distribution function of a non-Hamiltonian ensemble.

研究の動機と目的

• ジャコビ恒等式の違反により、3次元非可換系にポアソン構造が存在しないという問題に取り組む。
• 特定の対称性やハミルトニアン形式に依存しない、一般のポアソン作用素を構築するための手法を開発する。
• 保存則を満たす非ハミルトニアン系に対して統計力学の定式化を可能にするために、正準位相空間を回復する。
• 非可積分磁場中をE×Bドリフトする荷電粒子の集合に対する平衡分布関数を導出する。

提案手法

• 新たな自由度を導入することで、元の3次元非可換系を4次元拡張位相空間に埋め込む。
• 元の運動方程式を保存する拡張反対称作用素を構築する。
• 拡張空間におけるジャコビ恒等式の成立を保証するために共形係数を導入する。
• 共形係数を用いた時間再パラメータ化により、系をハミルトンの正準形式に変換する。
• 得られた正準位相空間を用いて、最大エントロピーの原理により平衡分布関数を導出する。
• 座標変換のヤコビアンと、ホリシティ密度 h = w · ∇× w を関連づけ、ジャコビ恒等式の破綻度を定量化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元非可換系を、対称性の低減に依存せずに体系的にポアソン化できるか？
• RQ2 ジャコビ恒等式が破綻している場合、保存則を満たす系に対してどのようにポアソン構造を回復できるか？
• RQ3 ホリシティ密度が非ハミルトニアン系の平衡分布に果たす役割は何か？
• RQ4 拡張位相空間と時間再パラメータ化は、どのように非圧縮性と正準力学を回復するか？
• RQ5 非可積分磁場中におけるE×Bドリフトの平衡分布関数の形は何か？

主な発見

• ポアソン化手順により、元の力学を保存する4次元正準ハミルトニアン系が明確に構築された。
• 非可積分磁場中をE×Bドリフトする系の平衡分布関数は、有限のホリシティ密度 h により、標準的なボルツマン形式から逸脱する。
• 拡張位相空間における分布関数 F は F = ∆s / (1 + ∆s h / 2) で与えられ、ジャコビ恒等式の破綻度に明示的な依存関係がある。
• 元の位相空間から拡張位相空間への座標変換のヤコビアンはホリシティ密度に比例し、系の圧縮性を定量化する。
• 数値シミュレーションにより、元の非ハミルトニアン系の軌道はホリシティ h がゼロでないため、開いたらせん状の経路を描くが、ポアソン化された系では閉じた非圧縮性軌道が得られることが確認された。
• 本手法は、ハミルトニアンの具体的な形に依存せず、任意の3次元保存則を満たす非可換系に一般に適用可能である。