[論文レビュー] Polar Varieties and Efficient Real Equation Solving: The Hypersurface Case

B. Bank, M Giusti+3 more|ArXiv.org|Sep 6, 1996

Polynomial and algebraic computation参考文献 15被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、有理数係数の平方自由多項式によって定義される滑らかで有界な実超曲面の各連結成分に少なくとも1つの代表点を計算する多項式時間アルゴリズムを提示する。極多様体を活用し、直線プログラムで符号化された入力におけるアフィン次数の代わりに実次数を用いることで、複雑さが $(nd\beta^*L)^{O(1)}$ に抑えられる。ここで $eta^*$ は関連する極多様体の実次数であり、$L$ は入力サイズである。

ABSTRACT

The objective of this paper is to show how the recently proposed method by Giusti, Heintz, Morais, Morgenstern, Pardo \cite{gihemorpar} can be applied to a case of real polynomial equation solving. Our main result concerns the problem of finding one representative point for each connected component of a real bounded smooth hypersurface. The algorithm in \cite{gihemorpar} yields a method for symbolically solving a zero-dimensional polynomial equation system in the affine (and toric) case. Its main feature is the use of adapted data structure: Arithmetical networks and straight-line programs. The algorithm solves any affine zero-dimensional equation system in non-uniform sequential time that is polynomial in the length of the input description and an adequately defined {\em affine degree} of the equation system. Replacing the affine degree of the equation system by a suitably defined {\em real degree} of certain polar varieties associated to the input equation, which describes the hypersurface under consideration, and using straight-line program codification of the input and intermediate results, we obtain a method for the problem introduced above that is polynomial in the input length and the real degree.

研究の動機と目的

• 実多項方程式系を効率的に解く課題に取り組み、特に滑らかな実超曲面の各連結成分に対して少なくとも1つの代表点を求める。
• 元々代数的に閉じた場合に設計された内在的アルゴリズムを、実の場合に拡張する。その際、実次数のような幾何的不変量を用いる。
• 従来の研究で用いられるアフィン次数の代わりに、極多様体の実次数という新しい不変量を導入し、実代数的集合の複雑さをより正確に反映する。
• 入力サイズおよび実次数に関して多項式時間の複雑さを達成し、実代数的幾何の問題に対して実用的な効率性を保証する。

提案手法

• 入力多項式および中間結果を直線プログラムで符号化することで、本質的な除法を避けて効率的な算術計算を可能にする。
• 入力超曲面に関連する極多様体を導入し、新たな幾何的不変量である実次数 $\delta^*$ を定義する。これは実解集合の位相的複雑さを捉える。
• 逐次的射影によって代数的多様体の系列を構成し、リフト・ファイバー過程を用いて $\mathbb{Q}$ 上の既約因子から実成分を分離する。
• 多変数因数分解を $\mathbb{Q}$ 上の一変数因数分解に還元するために、変数を一般に特殊化する重要なステップを含む。これはヒルベルトの不可約性定理を活用する。
• 一変数還元において実根の有無をテストすることで、非実の $\mathbb{Q}$-既約成分を除外し、実成分のみを保持する。
• 最終的な出力は、有理関数 $p_1(\tau), \dots, p_n(\tau)$ およびその根が代表点に対応する一変数多項式 $q(\tau)$ を用いた実解集合のパラメトリック表現である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 零次元系に対する内在的アルゴリズムを、アフィン次数の代わりに実幾何的不変量を用いることで、実の場合に適応可能か？
• RQ2 実代数的集合の位相的構造を反映する形で、極多様体の実次数をどのように定義・計算できるか？
• RQ3 入力サイズおよび実次数に関して多項式時間で、滑らかな実超曲面の各連結成分に対して少なくとも1つの代表点を計算可能か？
• RQ4 直線プログラムと有理数算術を用いることで、アルゴリズムが完全に有理数的であり、代数的拡大を避けることができるか？
• RQ5 ヒルベルトの不可約性定理は、$\mathbb{Q}$ 上での因数分解における実成分の分離に果たす役割は何か？

主な発見

• アルゴリズムは、滑らかで有界な実超曲面の各連結成分に代表点を計算するが、その時間は入力サイズ $L$、多項式の次数 $d$、関連極多様体の実次数 $\delta^*$ に関して多項式時間で達成される。
• 実次数 $\delta^*$ は、極多様体 $W_i^*$ の最大次数として定義され、実解集合に対してアフィン次数よりもタイトな複雑さの測度となる。
• 有理数算術と直線プログラム符号化を用いることで、複雑さが $(nd\delta^*L)^{O(1)}$ に抑えられ、代数的拡大を回避する。
• 出力は、次数が $\delta^*_{n-1} \leq \delta^*$ である一変数多項式 $q$ と、次数が $\delta^*_{n-1}$ より小さい有理関数 $p_i$ からなり、各成分ごとに1点をパラメトリックに表す。
• 多変数因数分解を $\mathbb{Q}$ 上の一変数因数分解に還元し、その後に実根のテストを施すことにより、実成分を分離する。
• 構成法により、実超曲面の各連結成分 $C$ に対して、$\tau \in \mathbb{R}$ が存在し、$\xi = (p_1(\tau), \dots, p_n(\tau)) \in C$ となることが保証される。