[論文レビュー] Polarized Spinoptics and Symplectic Physics

Christian Duval|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2013

Quantum optics and atomic interactions参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、SE(3)群のユークリッド共伴軌道を拡張することで、非一様媒体における偏光光線の幾何的でシンプレクティックな枠組みを構築する。リーマン多様体上のフレーム bundle におけるプレシンプレクティック構造を用い、運動方程式および偏光の進化を導出し、幾何的に符号化された異常速度を通じて、半古典的近似を用いずにベリー接続およびパーンチャラトナム接続を自然に組み込んだスピンホール効果（SHEL）を回復する。

ABSTRACT

We recall the groundwork of spinoptics based on the coadjoint orbits, of given color and spin, of the group of isometries of Euclidean three-space; this model has originally been put forward by Souriau in his treatise "Structure des Systémes Dynamiques", whose manuscript was initially entitled "Physique symplectique". We then set up a model of polarized spinoptics, namely an extension of geometrical optics accounting for elliptically polarized light rays in terms of a certain fibre bundle associated with the bundle of Euclidean frames of a given Riemannian three-manifold. The characteristic foliation of a natural presymplectic two-form introduced on this bundle via the Ansatz of minimal coupling is determined, yielding a set of differential equations governing the trajectory of light, as well as the evolution of polarization in this Riemannian manifold. Those equations, when specialized to the Fermat metric (for a slowly varying refractive index), enable us to recover, and justify, a set of differential equations earlier proposed in the literature, in another context, namely in terms of a semi-classical limit of wave optics. They feature a specific anomalous velocity responsible for the recently observed Spin Hall Effect of Light, namely a tiny spatial deflection of polarized light rays, transversally to the gradient of the refractive index. Our model, constructed from the start on purely geometric grounds, turns out to encode automatically the Berry as well as the Pancharatnam connections that usually appear in the framework of wave optics.

研究の動機と目的

• 元来円偏光に限られていた古典的スピンオプティクスを、幾何的およびシンプレクティック的構造を用いて一般の楕円偏光に拡張すること。
• リーマン3次元多様体上のフレーム bundle に、SE(3)不変なプレシンプレクティックモデルを構築し、偏光光線の伝播を記述すること。
• 波動光学の近似に依存せずに、非一様な誘電体媒体内での光線の軌道および偏光の進化を、第一原理的な幾何的原則から導出すること。
• スピンホール効果（SHEL）の古典的で幾何的な説明を提供し、その横方向のずれとスピン依存のシフトを含むこと。
• ベリー接続およびパーンチャラトナム接続が、このモデルのシンプレクティック幾何学から自然に生じることを示すこと。

提案手法

• モデルは、色とスピンカシミールを有する古典的光子状態を表す、ユークリッド群 SE(3) の共伴軌道に基づく。
• リーマン3次元多様体上のユークリッドフレームのファイバー束を、偏光光線の位相空間として用い、最小結合により自然なプレシンプレクティック2形式を備える。
• プレシンプレクティック形式の特徴的分布が、光線軌道および偏光の進化を支配する微分方程式系を導く。
• フェルマー計量の極限（屈折率が緩やかに変化する場合）において、これらの式は半古典的波動光学から導かれた式に還元され、モデルの妥当性が裏付けられる。
• スピンに関連する運動量写像および U(1)-作用を用いて、横方向のシフトを含む保存量を導出する。
• 反射および屈折の界面をモデル化するための散乱シンプレクティック同相写像を構築し、H=SE(2) 対称性を保存し、SHEL シフトの公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティックおよびファイバー束の構造を用いて、非一様媒体内における楕円偏光光線をどのように幾何的にモデル化できるか？
• RQ2 量子的または波動光学的近似を用いずに、完全に古典的で幾何的な枠組みからスピンホール効果（SHEL）を導出できるか？
• RQ3 このモデルにおける位相空間のシンプレクティック幾何学から、ベリー接続およびパーンチャラトナム接続がどのように自然に生じるか？
• RQ4 SE(3) 共伴軌道およびそのプリクアンタライゼーションは、スピンを有する古典的光子状態を記述するために果たす役割は何か？
• RQ5 光学的界面における偏光光線の横方向のずれは、運動量写像およびシンプレクティック散乱にどのように符号化されているか？

主な発見

• モデルは、非一様媒体内での偏光光線伝播の微分方程式を成功裏に回復し、スピンホール効果（SHEL）を引き起こす異常速度を含む。
• SHEL の横方向シフトは、幾何学的に Δq = [s̃₂⟨n,u₂⟩ − s̃₁⟨n,u₁⟩]/‖n×p₁‖ × (n×p₁)/‖n×p₁‖ として導出され、既知の半古典的結果と一致する。
• SHEL シフトは垂直入射時に消えることが確認され、物理的期待と実験的観察と整合的である。
• 運動量写像の保存則式 (4.83) および (4.84) は、屈折および反射のスネル＝デスカルツの法則を再現する。
• シンプレクティック散乱写像 S が、スピンオプティクスの枠組みにおいて反射／屈折に対して一意であることが示され、モデルの整合性を支持する。
• 共伴軌道の幾何的量子化が、ベリー接続およびパーンチャラトナム接続を自然に符号化しており、波動光学におけるそれらの出現を古典的幾何学から説明する。