[論文レビュー] Polish spaces of Banach spaces. Complexity of isometry classes and generic properties.

Marek Cúth, Martin Doležal+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2019

Advanced Banach Space Theory参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有理数ベクトル空間上のノルムおよび擬ノルムを用いて、可分バナッハ空間の自然なポーランド空間を定義・分析し、ゴデフロワとサン＝レミーが導入した適応位相と比較して、それらのボレル複雑度を検討する。無限次元ヒルバート空間の等長写像類が唯一閉じたクラスであることが示され、$L_p[0,1]$ および $\ell_p$ 空間はそれぞれ $G_\delta$-完全および $F_{\sigma\delta}$-完全であることが特定され、グルバリーエ空間および他のクラスについてもさらなる複雑度の結果が得られる。

ABSTRACT

We present and thoroughly study natural Polish spaces of separable Banach spaces. These spaces are defined as spaces of norms, resp. pseudonorms on the countable infinite-dimensional rational vector space. We provide an exhaustive comparison of these spaces with the admissible topologies recently introduced by Godefroy and Saint-Raymond and show that Borel complexities differ little with respect to these two different topological approaches. We then focus mainly on the Borel complexities of isometry classes of the most classical Banach spaces. We prove that the infinite-dimensional Hilbert space is characterized as the unique separable infinite-dimensional Banach space whose isometry class is closed, and also as the unique separable infinite-dimensional Banach space whose isomorphism class is $F_\sigma$. For $p\in\left[1,2 ight)\cup\left(2,\infty ight)$, we show that the isometry classes of $L_p[0,1]$ and $\ell_p$ are $G_\delta$-complete and $F_{\sigma\delta}$-complete, respectively. Then we show that the isometry class of the Gurari\ui space is $G_\delta$-complete and the isometry class of $c_0$ is $F_{\sigma\delta}$-complete. The isometry class of the former space is moreover proved to be dense $G_\delta$. Additionally, we compute the complexities of many other natural classes of Banach spaces; for instance, $\mathcal{L}_{p,\lambda+}$-spaces, for $p,\lambda\geq 1$, are shown to be $G_\delta$, superreflexive spaces are shown to be $F_{\sigma\delta}$, and spaces with local $\Pi$-basis structure are shown to be $\boldsymbol{\Sigma}^0_6$. The paper is concluded with many open problems and suggestions for a future research.

研究の動機と目的

• 可算な有理数ベクトル空間上のノルムおよび擬ノルムを用いて、可分バナッハ空間の自然なポーランド空間を定義・研究すること。
• 本稿で得られるボレル複雑度を、ゴデフロワとサン＝レミーが導入した適応位相と比較すること。
• $L_p[0,1]$、$\ell_p$、$c_0$、およびグルバリーエ空間といった古典的バナッハ空間の等長写像類のボレル複雑度を特定すること。
• より広範なバナッハ空間のクラス、たとえば $\mathcal{L}_{p,\lambda+}$-空間、超反射的空間、局所 $\Pi$-基底構造を持つ空間のボレル複雑度を計算すること。
• 一般性のある性質および稠密な $G_\delta$ 等長写像類を特定すること、特にグルバリーエ空間に関して。

提案手法

• 可算な稠密な有理数ベクトル空間 $\mathbb{Q}^{(\mathbb{N})}$ 上のノルムおよび擬ノルムからなるポーランド空間を定義し、可分バナッハ空間のパラメータ空間として用いる。
• 記述的集合論を用いて、これらのポーランド空間内における等長写像類のボレル複雑度を分析する。
• ノルムに基づく位相から生じるボレル複雑度と、ゴデフロワとサン＝レミーの適応位相から生じる複雑度を比較する。
• 階層分類 $\boldsymbol{\Sigma}^0_6$、$F_{\sigma\delta}$、$G_\delta$、$F_\sigma$ を用いて、特定の等長写像類の複雑度を特徴付ける。
• ヒルバート空間の等長写像類が唯一閉じたクラスであり、グルバリーエ空間の等長写像類が稠密な $G_\delta$ であることを証明する。
• 局所 $\Pi$-基底や超反射的性質といったバナッハ空間の構造的性質を用いて、複雑度の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元ヒルバート空間の等長写像類のボレル複雑度は、可分バナッハ空間のポーランド空間内でどのように特定されるか？
• RQ2 $L_p[0,1]$ および $\ell_p$ 空間の等長写像類のボレル複雑度は、$p \in [1,2) \cup (2,\infty)$ の範囲でどのように比較されるか？
• RQ3 グルバリーエ空間の等長写像類は $G_\delta$-完全であるか？また、可分バナッハ空間のポーランド空間内で稠密な $G_\delta$ であるか？
• RQ4 $c_0$ の等長写像類のボレル複雑度は何か？他の古典的空間と比較するとどうなるか？
• RQ5 $\mathcal{L}_{p,\lambda+}$-空間、超反射的空間、局所 $\Pi$-基底構造を持つ空間といったより広範なクラスのボレル複雑度は何か？

主な発見

• 無限次元ヒルバート空間の等長写像類は、ノルムのポーランド空間内で唯一閉じたクラスである可分無限次元バナッハ空間である。
• $L_p[0,1]$ および $\ell_p$（$p \in [1,2) \cup (2,\infty)$）の等長写像類は、それぞれ $G_\delta$-完全および $F_{\sigma\delta}$-完全である。
• グルバリーエ空間の等長写像類は $G_\delta$-完全であり、可分バナッハ空間のポーランド空間内で稠密な $G_\delta$ である。
• $c_0$ の等長写像類は $F_{\sigma\delta}$-完全であり、$p \neq 2$ の $L_p$ や $\ell_p$ と比較して、より高いボレル複雑度を示す。
• $p,\lambda \geq 1$ の $\mathcal{L}_{p,\lambda+}$-空間のクラスは $G_\delta$ であり、相対的に低い複雑度を示す。
• 局所 $\Pi$-基底構造を持つ空間は $\boldsymbol{\Sigma}^0_6$ の複雑度を示し、ボレル階層の高いが明確に定義されたレベルに位置する。