[論文レビュー] Polling systems and multitype branching processes in random environment counted by random characteristics

Vladimir Vatutin|ArXiv.org|Oct 6, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ランダム環境における多種別分支過程（MBPRCRE）を用いて、サービスパラメータがランダムに変化する分岐型ポーリングシステムを分析する。バケーション期間の尾部分布がべき則に従って減少する条件を確立し、$\sim Cy^{-\kappa}$ とし、バケーション期間中に蓄積される総最終製品のモーメントが有限または無限であるための基準を提示する。

ABSTRACT

By the methods of multitype branching processes in random environment counted by random characteristics we study the tail distribution of busy periods and some other characteristics of the branching type polling systems in which the service disciplines, input parameters and service time distributions are changing in a random manner.

研究の動機と目的

• サービス制度やパラメータがランダムに変化するポーリングシステムにおけるバケーション期間の尾部挙動を分析すること。
• 指数分布に従わないサービス時間の仮定を越えて、バケーション期間のモーメントおよび尾部挙動に関する既存の結果を拡張すること。
• バケーション期間中に蓄積される総最終製品（例：サービス時間）のモーメントが有限または無限である条件を確立すること。
• バケーション期間長の尾部分布の漸近的べき則減少を特徴付けること。
• 特に文献[34]の定理1.1を、より広い非指数的・非マルコフ的システムのクラスへ一般化・精緻化すること。

提案手法

• 各サーバーの訪問が子供顧客と最終製品（例：サービス時間）を生成する多種別分支過程をランダム環境（MBPRCRE）としてモデル化する。
• 各ステーションにおける子供と最終製品の同時分布を記述するため、混合確率母関数（m.p.g.f.）$\phi_n^{(i)}(\mathbf{s};\lambda)$ を用いる。
• 遷移行列を用いて、期待される子供および最終製品数を表すランダム行列$H_n$とベクトル$\mathbf{C}_n$を定義する。
• 総蓄積最終製品$\Phi$をバケーション期間にわたって追跡するために、ランダム特性の理論を適用する。
• 遷移行列を用いて期待される総最終製品を計算するための基本方程式$\mathbf{C}_n = (E - H_n^\Delta)^{-1} \mathbf{c}_n$を導出する。
• 特に部分的安定性とパrameter $\kappa$ に注目し、基礎となる分支過程におけるモーメントおよび尾部解析を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バケーション期間中に蓄積される総最終製品$\Phi$の尾部分布がべき則尾部を示す条件は何か？
• RQ2 バケーション期間がほとんど確実に無限大であるのはいつか？ どのような条件下でこの挙動が生じるか？
• RQ3 なぜ$\Phi$の$x$次モーメントが有限または無限であるかを決定づける要因は何か？
• RQ4 尾部減少率$\sim Cy^{-\kappa}$は、システムのランダムパラメータおよび分支構造にどのように依存するか？
• RQ5 結果を指数分布に従わないサービス時間分布へ拡張できるか？

主な発見

• 指定されたモーメントおよび部分的安定性条件のもとで、バケーション期間長の尾部分布は$\mathbf{P}(\Phi > y) \sim C y^{-\kappa}$（$y \to \infty$）を満たす。ここで$C > 0$、$\kappa > 0$ である。
• 基礎となるMBPRCREが部分的安定であり、特定のモーメント条件を満たす場合、$\mathbf{E}[\Phi^x] < \infty$ であるための必要十分条件は$x < \kappa$ である。
• 基礎となるMBPREが上昇的であり、$\alpha > 0$ かつ条件(16)を満たす場合、バケーション期間が正の確率で無限大である。
• 最終製品がサービス時間に対応する場合、尾部挙動は完全に特徴づけられる。これは、従来の指数分布に従うサービス時間の仮定を必要としていなかった結果を拡張するものである。
• パrameter $\kappa$ は、子供および最終製品分布のモーメント母関数を含む特性方程式の解として決定される。
• ランダム行列$H_n$のモーメント母関数の存在を保証する条件$T$は重要であるが、現在は限定された行列クラスでのみ検証されている。