[論文レビュー] Polya sequences, Toeplitz kernels and gap theorems

Mishko Mitkovski, Alexei Poltoratski|ArXiv.org|Mar 26, 2009

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Pólya列—零指数型整関数がその列上で有界であれば定数でなければならない分離された実数列—を、Toeplitzカーネルとde Branges空間との関係を通じて特徴づけることで、Pólya-Levinson問題を解決する。主な結果は、ある列がPólya列でないための必要十分条件が、点の密度が0に近づく長大な区間の列が存在することである。これは複素解析およびフーリエ解析における長年の未解決問題を解消する。

ABSTRACT

A separated sequence $Λ$ on the real line is called a Polya sequence if any entire function of zero exponential type bounded on $Λ$ is constant. In this paper we solve the problem by Polya and Levinson that asks for a description of Polya sets. We also show that the Polya-Levinson problem is equivalent to a version of the so-called Beurling gap problem on Fourier transforms of measures. The solution is obtained via a recently developed approach based on the use of Toeplitz kernels and de Branges spaces of entire functions.

研究の動機と目的

• Pólya列—零指数型整関数が有界であれば定数でなければならない分離された実数列—を特徴づける長年の未解決問題を解消すること。
• Pólya-Levinson問題と、測度のフーリエ変換が区間で消失するという性質に関するBeurlingのギャップ問題のバージョンとの間の同値性を確立すること。
• 実直線上の集合の長大および短大補集合の概念を用いて、Pólya列の完全な特徴づけを提供すること。
• de BrangesとBeurlingの結果を、Toeplitzカーネル理論とde Branges空間を用いて拡張・統合すること。
• Pólya-Levinson条件が、特定のToeplitz作用素問題に対する非自明な解の非存在と同値であることを示すこと。

提案手法

• 零指数型関数が列上で有界であるときの構造を分析するために、整関数のde Branges空間の理論を用いる。
• Pólya-Levinson問題と、$ H^2(\mathbb{C}_+) $ 上のToeplitz作用素の単射性との関係を、Toeplitzカーネル理論を応用して確立する。
• 列 $ \Lambda $ の上側密度 $ D_*(\Lambda) $ の概念を用い、特定のde Branges空間に非自明な関数が存在するかどうかと関連付ける。
• Smirnov-Nevanlinnaクラス $ N^+(\mathbb{C}_+) $ の関数の内包的・外的分解、特に特異内包関数 $ S(z) = e^{iz} $ を特に扱う。
• ほとんど減少関数の概念を用いて、内包関数の偏角の振る舞いと $ S(z) $ との相互作用を特徴づけ、Nevanlinna数え上げ関数が消失しないことを導く。
• Pólya-Levinson条件と、$ \Theta $ を $ \{ \Theta = 1 \} = \Lambda $ を満たすメロモルフィック内包関数とするとき、すべての $ c > 0 $ に対して $ N[\bar{\Theta}S^{2c}] \neq 0 $ であるという条件との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pólya列—零指数型整関数が有界であれば定数でなければならない分離された実数列—の完全な特徴づけは何か？
• RQ2 Pólya-Levinson問題と、非自明な測度のフーリエ変換が区間で消失するという性質に関するBeurlingのギャップ問題（測度の存在に関する問題）との関係は何か？
• RQ3 Levinson や de Branges の古典的な十分条件を、Pólya列に対する必要十分条件へと鋭く修正できるか？
• RQ4 ある列の長大な区間における密度が、それがPólya列であるかどうかを決定づける程度はどの程度か？
• RQ5 Toeplitzカーネルとde Branges空間は、複素解析および調和解析におけるこれらの古典的問題を解消するために果たす役割は何か？

主な発見

• 分離された列 $ \Lambda \subset \mathbb{R} $ がPólya列でないための必要十分条件は、長大な区間の列 $ \{I_n\} $ が存在して、$ \frac{\#(\Lambda \cap I_n)}{|I_n|} \to 0 $ が $ n \to \infty $ のとき成り立つことである。これにより完全な特徴づけが得られる。
• Pólya-Levinson問題は、Beurlingのギャップ問題のバージョンと同値である：$ \Lambda $ に台を持つ非自明な有限測度で、そのフーリエ変換が正の長さの区間で消失するものが存在するための必要十分条件は、$ \Lambda $ がPólya列でないことである。
• 一般の閉集合に対してBeurlingのギャップ定理を改善し、閉集合 $ X \subset \mathbb{R} $ の補集合が長大であるとき、$ X $ に台を持つ非自明な有限測度が、区間でフーリエ変換が消失するようなものは存在しないことを示した。この条件は、このような測度の存在について必要十分である。
• 列 $ \Lambda $ の上側密度 $ D_*(\Lambda) $ は、$ D_*(\Lambda) = \frac{1}{2\pi} \sup \{ a \geq 0 : \text{あるメロモルフィック内包関数 } \Theta \text{ が } \{\Theta = 1\} \subset \Lambda \text{ を満たし、すべての } \epsilon > 0 \text{ に対して } N[\bar{\Theta} S^{a - \epsilon}] \neq 0 \} $ を満たし、密度とスペクトル的性質を結びつける。
• 列 $ \Lambda $ 上で有界な非定数の零指数型整関数の存在は、$ \mu $ を $ \Lambda $ 上の数え上げ測度とするとき、すべての関数が零型であるような、$ L^2(\mu) $ に等長埋め込みされた短いde Branges空間 $ B_E $ の存在と同値である。
• 証明では、すべての $ c > 0 $ に対して $ N[\bar{\Theta} S^{2c}] = 0 $ ならば、対応するde Branges空間の任意の関数が $ \Lambda $ 上で有界であることが示され、$ \Lambda $ がPólya列でないことが従う。これにより双対性が完全に完成する。