[論文レビュー] Polychromatic X-ray CT Image Reconstruction and Mass-Attenuation Spectrum Estimation

Renliang Gu, A. Dogandzic|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Medical Imaging Techniques and Applications参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、未知のスペクトルおよび物質条件下で、アンダーサンプリングされノイズの多いプロジェクションから質量減衰スペクトルと密度マップを同時に推定する、ブラインドでスパースな画像再構成手法を提案する。質量減衰を変数として測定モデルを再パrameter化することで、ラプラス型の積分方程式を定式化し、ネステロフの近接勾配法とL-BFGS-Bステップを組み合わせたブロック座標降下法を採用することで、理論的収束保証のもとで未知のスペクトルおよび物質条件のもとでも高精度な再構成を達成する。

ABSTRACT

We develop a method for sparse image reconstruction from polychromatic computed tomography (CT) measurements under the blind scenario where the material of the inspected object and the incident-energy spectrum are unknown. We obtain a parsimonious measurement-model parameterization by changing the integral variable from photon energy to mass attenuation, which allows us to combine the variations brought by the unknown incident spectrum and mass attenuation into a single unknown mass-attenuation spectrum function; the resulting measurement equation has the Laplace integral form. The mass-attenuation spectrum is then expanded into first order B-spline basis functions. We derive a block coordinate-descent algorithm for constrained minimization of a penalized negative log-likelihood (NLL) cost function, where penalty terms ensure nonnegativity of the spline coefficients and nonnegativity and sparsity of the density map. The image sparsity is imposed using total-variation (TV) and $\ell_1$ norms, applied to the density-map image and its discrete wavelet transform (DWT) coefficients, respectively. This algorithm alternates between Nesterov's proximal-gradient (NPG) and limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno with box constraints (L-BFGS-B) steps for updating the image and mass-attenuation spectrum parameters. To accelerate convergence of the density-map NPG step, we apply a step-size selection scheme that accounts for varying local Lipschitz constant of the NLL. We consider lognormal and Poisson noise models and establish conditions for biconvexity of the corresponding NLLs. We also prove the Kurdyka-Łojasiewicz property of the objective function, which is important for establishing local convergence of the algorithm. Numerical experiments with simulated and real X-ray CT data demonstrate the performance of the proposed scheme.

研究の動機と目的

• 入射スペクトルおよび物質が未知である状況下で、ビームハードニングアーチファクトを低減するため、スパースな画像再構成を可能にする。
• 光子エネルギーから質量減衰へ変換することで、測定モデルの統一的パrameter化を実現し、スペクトルと減衰を1つの未知関数に統合する。
• 画像およびスペクトルパラメータに対して非負性とスパarsityを確保するため、全変動とℓ₁ノルムペナルティを用いる。
• ポissonおよび対数正規ノイズの下で負の対数尤度の双凸性とKurdyka-Łojasiewicz性を用いて、理論的収束を確立する。
• ネステロフ近接勾配ステップにおける局所リプシッツ定数を考慮した可変ステップサイズスキームにより、収束を加速する。

提案手法

• 光子エネルギーから質量減衰へ変数を変更することで、多色X線CTの測定モデルを再パラメータ化し、ラプラス積分形式を得る。
• 1次Bスプラインを用いて未知の質量減衰スペクトルを展開し、有限次元パラメータ化を可能にする。
• 画像およびスペクトルパラメータに非負性とスパarsity制約を課した、ペナルティ付き負の対数尤度（NLL）コスト関数を定式化する。
• 画像更新にはネステロフの近接勾配法（NPG）、スペクトル更新にはL-BFGS-Bを交互に用いるブロック座標降下法を用いる。
• NPGステップにおける可変ステップサイズ戦略を適用し、NLLの局所的リプシッツ定数に応じて適応することで収束を加速する。
• ポアソンおよび対数正規ノイズモデル下でNLLの双凸性を確立し、目的関数のKurdyka-Łojasiewicz性を証明することで、グローバル収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入射スペクトルおよび物質が未知である状況下で、ブラインド条件下での多色X線CTの同時再構成とスペクトル推定フレームワークを構築できるか？
• RQ2 未知のスペクトルと減衰の影響を1つの未知関数に統合するために、測定モデルをどのように再パラメータ化できるか？
• RQ3 スパarsityおよび非負性制約のもとで、画像と質量減衰スペクトルを同時に推定する際、収束性と安定性を保証する最適化戦略は何か？
• RQ4 この双凸設定下で、ブロック座標降下法の収束を理論的に保証するにはどうすればよいか？
• RQ5 ネステロフ近接勾配法における画像更新ステップの収束速度を向上させるためのステップサイズ適応戦略は何か？

主な発見

• 提案手法は、顕著なアンダーサンプリングおよび未知の入射スペクトル下でも、高精度な画像再構成と質量減衰スペクトル推定を達成する。
• Bスプライン基底関数の使用により、未知の質量減衰スペクトルの安定的かつ柔軟な表現が可能になる。
• NPGとL-BFGS-Bステップを組み合わせたブロック座標降下法は、目的関数のKurdyka-Łojasiewicz性により、グローバルに収束する。
• NPGステップにおける可変ステップサイズ戦略は、NLLの局所的滑らかさに適応することで、収束を顕著に加速する。
• 本手法は、シミュレートデータおよび実X線CTデータの両方で頑健な性能を示し、ビームハードニングアーチファクトの低減において線形再構成手法を上回る。
• 理論的分析により、ポアソンおよび対数正規ノイズ下で負の対数尤度の双凸性が確認され、最適化スキームの収束を支持する。