[論文レビュー] Polyconvex Model for Materials with Cubic Anisotropy

Nayden Kambouchev, Javier Fernández+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2005

Elasticity and Material Modeling参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、立方対称性を有する超弾性材料のための多値凸なひずみエネルギー関数を、1つの4階構造的テンソルを用いて提示する。このフレームワークは多値凸性を用いることで数学的解の存在を保証するとともに、非対称な荷重下における非対称ひずみやせん断応力といった物理的に妥当な方向応答を再現する。

ABSTRACT

Polyconvexity is one of the known conditions which guarantee existence of solutions of boundary value problems in finite elasticity. In this work we propose a framework for development of polyconvex strain energy functions for hyperelastic materials with cubic anisotropy. The anisotropy is captured by a single fourth order structural tensor for which the minimal polynomial basis is identified and used for the formulation of the strain energy functions. After proving the polyconvexity of some polynomial terms, we proceed to propose a model based on a simple strain energy function. We investigate the behavior of the model analytically in one dimension and numerically in two and three dimensions. These investigations allow us conclude that the model possesses the physically relevant directional properties, in particular, strains in different directions are different and the lack of any loading symmetries leads to development of ``shear'' stresses and displacements.

研究の動機と目的

• 立方対称性を有する超弾性材料のための数学的に整合性があり、多値凸なひずみエネルギー関数を開発すること。
• 多値凸性を強制することで、弱い凸性よりも強い条件である、有限弾性における解の存在を保証すること。
• 1つの4階構造的テンソルから導かれる最小限の不変量集合を用いて、立方結晶対称性を表現すること。
• 1次元、2次元、3次元における解析的および数値的検証を通じて、モデルの物理的整合性を検証すること。
• 荷重の対称性がない状況下でも、非対称ひずみやせん断応力といった方向応答をモデルが捉えられることを示すこと。

提案手法

• 立方対称性群を表現するために4階構造的テンソルを用い、ひずみエネルギー関数の不変形式を可能にする。
• 構造的テンソルの最小多項式基底を用いて、ひずみエネルギー関数の独立不変量を同定する。
• 歪み勾配と構造的テンソルの不変量に基づいて多項式ひずみエネルギー関数を構築する。
• ヘッセ行列解析を用いて、個々の多項式項の凸性を確認することで、多値凸性の概念を適用する。
• テンソル関数表現と完全基底理論を用いて、不変かつ合理的な構成モデルを保証する。
• ケイリー・ハミルトンの定理と特性多項式を用いて、構造的テンソルの代数的恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方対称性を有する材料に対して、多値凸なひずみエネルギー関数を体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 有限弾性における立方結晶の機械的応答を表現するために必要な最小限の不変量は何か？
• RQ3 提案されたモデルは、非対称ひずみやせん断応力といった物理的に現実的な方向応答を再現できるか？
• RQ4 ひずみエネルギー関数の多項式項における多値凸性条件を局所的に検証できるか？
• RQ5 非対称な荷重下において、1次元での解析的比較と2次元・3次元での数値的比較で、モデルの予測はどのように異なるか？

主な発見

• 提案されたモデルは、同一の荷重下でも異なる材料方向で異なるひずみを捉える方向応答を的確に再現している。
• 荷重の対称性が欠如している状況では、物理的期待に一致するせん断応力と変位が発生している。
• ヘッセ行列の正定値性を確認することで、ひずみエネルギー関数の多値凸性が確立された。
• モデルは数学的に適切に定式化されており、有限弾性における境界値問題の解の存在を保証している。
• 1つの4階構造的テンソルの使用により、立方対称性のコンactかつ対称的な表現が可能になった。
• 2次元および3次元の数値シミュレーションにより、対称性制約なしに複雑な異方的変形パターンを再現できることが確認された。