[論文レビュー] Polygamma theory, the Li/Keiper constants, and validity of the Riemann Hypothesis

Mark W. Coffey|ArXiv.org|Jul 17, 2005

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、リーマン・シグマ関数の対数微分から生じる、リーマン・リヒター定数に関連する新しい定数列 $ c_n $ を調査する。$ \lambda_n $ とは異なり、$ c_n $ には $ \frac{1}{2}\ln n $ の項が存在しないことが示され、$ c_n $ がステルツェス定数を用いて明示的に表現されることも示される。主な貢献は、$ |c_n| $ の漸近的成長に関する予想であり、その正しさが確認されればリーマン予想が成立することを示唆する。

ABSTRACT

The Riemann hypothesis is equivalent to the Li criterion governing a sequence of real constants, that are certain logarithmic derivatives of the Riemann xi function evaluated at unity. We investigate a related set of constants c_n, n = 1,2,..., showing in detail that the leading behaviour (1/2) ln n of lambda_n/n is absent in c_n. Additional results are presented, including a novel explicit representation of c_n in terms of the Stieltjes constants gamma_j. We conjecture as to the large-n behaviour of c_n. Should this conjecture hold, validity of the Riemann hypothesis would follow.

研究の動機と目的

• リーマン・シグマ関数の対数微分から定義される新しい定数列 $ c_n $ の漸近的性質を分析すること。
• 特に、$ \lambda_n $ に見られる $ \frac{1}{2}\ln n $ の先頭項が $ c_n $ に存在しないことと、それらを比較すること。
• ステルツェス定数 $ \gamma_k $ を用いて $ c_n $ の明示的表現を導出すること。
• 正確な漸近的オーダーを $ |c_n| $ について予想することであり、その正しさが確認されればリーマン予想が成立することが示唆される。

提案手法

• 関数 $ F(z) = \ln\left[ \frac{z}{1-z} \zeta\left( \frac{1}{1-z} \right) \right] $ を定義し、そのべき級数展開 $ F(z) = \sum_{n=1}^\infty c_n z^n $（ただし $ c_0 = 0 $、$ c_1 = \gamma $）が $ c_n $ 定数を定義する。
• リーマン・ゼータ関数の関数等式およびガンマ関数・ポリガンマ関数の性質を用いて、シグマ関数の対数微分を分析する。
• ゼータ関数を $ s=1 $ の周りでローラン展開することにより、ステルツェス定数 $ \gamma_k $ を用いて $ c_n $ の明示的公式を導出する。
• ゼータ関数の対数微分における $ \eta_j $ 係数に関する既知の結果を応用し、$ c_n $ が $ \zeta(s) $ のより深い解析的性質とどのように関連するかを明らかにする。
• 数値的データと漸近的解析を用いて、$ |c_n| $ の成長率、特に指数的成長より小さい性質を予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン・シグマ関数の対数微分から導かれる定数列 $ c_n $ は、$ \lambda_n/n $ に見られる $ \frac{1}{2}\ln n $ の先頭項を欠いているか？
• RQ2 $ c_n $ はステルツェス定数 $ \gamma_k $ を用いて明示的に表現可能か？
• RQ3 $ |c_n| $ の真の漸近的オーダーは何か？ そして、その性質はリーマン予想の成立とどのように関係するか？
• RQ4 $ c_n $ 定数と、$ s=1 $ の周りでのゼータ関数のローラン展開における $ \eta_j $ 係数との間に何らかの関係があるか？

主な発見

• 定数列 $ c_n $ は、$ \lambda_n/n $ に見られる $ \frac{1}{2}\ln n $ の先頭項を欠いており、これにより根本的な構造が異なることが示された。
• ステルツェス定数 $ \gamma_k $ を用いて $ c_n $ の明示的公式が導出され、$ c_1 $ から $ c_5 $ までの閉形式表現が与えられた。
• 最初の数個の $ c_n $ の値が明示的に計算された：$ c_1 = \gamma $、$ c_2 = \gamma - \gamma^2/2 - \gamma_1 $、$ c_3 = \gamma - \gamma^2 + \gamma^3/3 - 2\gamma_1 + \gamma\gamma_1 + \gamma_2/2 $。
• 本稿は、$ |c_n| $ が指数的成長より小さい、すなわち非指数的成長であると予想し、その予想が成立すればリーマン予想が成立することが示唆される。
• 係数が $ c_n $ である関数 $ F(z) $ が単位円板内で正則であることは、リーマン予想と同値である。
• 数値的証拠と漸近的解析により、$ |c_n| $ が任意の指数関数より遅く成長することが支持されており、これはリーマン予想の成立を十分に示唆する。