[論文レビュー] Polygon spaces and Grassmannians

Jean-Claude Hausmann, Allen Knutson|ArXiv.org|Feb 29, 1996

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、ゲルファンド＝マクフィアソン対応のシンプレクティック版を用いて、R³における多角形空間と複素グラスマン多様体のシンプレクティック商の間のシンプレクティック同型を確立する。カポビッチ＝ミルソンの曲げフローがゲルファンド＝チェトリン系の還元として得られることを示し、五角形および六角形空間がトーリック多様体と-equivariantly symplectomorphicであることを証明する。また、複素幾何学への依存を対応関係を超えて最小限に抑え、多角形幾何学からの直接的な手法によって明示的なモーメント多面体を導出する。

ABSTRACT

We study the moduli spaces of polygons in R^2 and R^3, identifying them with subquotients of 2-Grassmannians using a symplectic version of the Gel'fand-MacPherson correspondence. We show that the bending flows defined by Kapovich-Millson arise as a reduction of the Gel'fand-Cetlin system on the Grassmannian, and with these determine the pentagon and hexagon spaces up to equivariant symplectomorphism. Other than invocation of Delzant's theorem, our proofs are purely polygon-theoretic in nature.

研究の動機と目的

• R²およびR³における多角形のモジュライ空間の位相的構造と幾何的性質を理解すること。
• ゲルファンド＝マクフィアソン対応のシンプレクティック版を用いて、多角形モジュライ空間と複素グラスマン多様体のシンプレクティック商との間のシンプレクティック同型を確立すること。
• カポビッチ＝ミルソンが定義した曲げフローが、グラスマン多様体上のゲルファンド＝チェトリン系の還元として生じることを示すこと。
• デルザントの再構成定理を用いて、五角形および六角形空間の構造を、同変シンプレクティック同型の意味で特定すること。
• 複素幾何学への依存を、必要な対応関係を超えて避ける、完全に多角形論的証明を提供すること。

提案手法

• シンプレクティックゲルファンド＝マクフィアソン対応を用いて、R³におけるm角形の空間をU(1)^mの作用を除いたG₂(C^m)と同定する。
• 辺長を割り当てる写像ℓ: mP³ → R^mを定義し、その水平集合mP³(α)をシンプレクティック商として研究する。
• 多角形空間上の曲げフローが、シンプレクティック還元を通じてグラスマン多様体上のゲルファンド＝チェトリン系の還元として対応することを示す。
• m角形空間とn角形空間を関連付ける偶数ステップ写像e: mP³ → nP³を用い、m = 2nまたは2n−1のとき、∂ = ℓ∘eが曲げトーラス作用のモーメント写像として機能することを示す。
• モーメント多面体Δ_αをボックスI_αと線分または超平面の交差として構成し、∂の像がちょうどΔ_αであることを証明する。
• デルザントの定理を適用し、m ≤ 6のとき、多角形空間が同変シンプレクティック同型でトーリック多様体と同一視できることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R³における多角形モジュライ空間を、シンプレクティックゲルファンド＝マクフィアソン対応のバージョンを用いて、複素グラスマン多様体のシンプレクティック商とどのように同定できるか？
• RQ2 カポビッチとミルソンが定義した曲げフローは、グラスマン多様体上のゲルファンド＝チェトリン系の還元として生じるか？
• RQ3 どのmの値に対して多角形空間mP³(α)が同変シンプレクティック同型でトーリック多様体と同一視可能であり、そのモーメント多面体の明示的構造は何か？
• RQ4 グラスマン多様体上の複素共役写像は、多角形空間上の空間的反転に対応するか？この対応は固定点集合にどのような意味を持つのか？
• RQ5 複素幾何学への依存を対応関係を超えて避けて、完全に多角形論的技法のみを用いて多角形空間の位相を完全に特定できるか？

主な発見

• R³におけるm角形の空間（平行移動および正のスケーリングの下での同値類）は、U(1)^mの作用を除いたグラスマン多様体G₂(C^m)とシンプレクティック同型である。
• mP³(α)上の曲げフローは、G₂(C^m)上のゲルファンド＝チェトリン系の還元として等価であり、多角形の力学と可積分系との直接的な関係を確立する。
• m ≤ 6のとき、五角形および六角形空間はトーリック多様体と同変シンプレクティック同型であり、モーメント多面体Δ_αは偶数m = 2nのときI_α ∩ (R_+·Ξ_n)として、奇数m = 2n−1のときx_nに追加制約を課した形で明示的に記述される。
• 偶数ステップ写像∂: mP³(α)_+ → R^nの像は、ちょうど多面体Δ_αであり、正則値x ∈ Δ_αに対して、写像はT^nackslash∂^{-1}(x)とnP³_+(x)の間のシンプレクティック同型を誘導する。
• グラスマン多様体上の複素共役写像は、多角形空間上の空間的反転に対応し、この対合の固定点集合は平面上の多角形の空間である。これはデュイステルマットの結果を示している。
• 証明は複素幾何学を避け、多角形論的議論に依存するが、シンプレクティック対応を通じて複素グラスマン多様体を主要な幾何的道具として用いる。