[論文レビュー] Polygons in buildings and their refined side lengths

Michael Kapovich, Bernhard Leeb+1 more|ArXiv.org|Jun 15, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、厚いユークリッド的ビルディング内の向き付けられた $n$-角形の $Δ_{euc}$-値の辺長の集合が、ビルディングのティーツ境界の球面的ウェイル・チャネル $Δ_{sph}$ にのみ依存することを確立する。ガウス写像の構成を用いて、このような辺長が、ティーツ境界上の半安定な重み付き配置の $Δ_{euc}$-重みに正確に対応することを証明し、幾何的多角形制約と幾何的不変量理論における安定性条件を結びつける。

ABSTRACT

As in a symmetric space of noncompact type, one can associate to an oriented geodesic segment in a Euclidean building a vector valued length in the Euclidean Weyl chamber; in addition to the metric length it contains information on the direction of the segment. We study in this paper restrictions on the vector valued side lengths of polygons in (thick) Euclidean buildings. The main result is that the set of possible side lengths of n-gons depends only on the associated spherical Coxeter complex. We show moreover that it coincides with the space of vector valued weights of semistable weighted configurations on the Tits boundary. The side lengths of polygons in symmetric spaces of noncompact type are studied in the related paper [KLM1]. Applications of the geometric results in both papers to algebraic group theory are given in [KLM3].

研究の動機と目的

• 厚いユークリッド的ビルディング内の向き付けられた $n$-角形の $Δ_{euc}$-値の辺長の集合を特徴づけること。
• このような多角形とティーツ境界における重み付き配置との間の対応を確立すること。
• 与えられた辺長を持つ多角形の存在が、一致する $Δ_{euc}$-重みを持つ半安定な重み付き配置の存在と同値であることを示すこと。
• 可能な辺長の空間が、特定のビルディングに依存せず、球面的コクセター複体にのみ依存することを証明すること。
• 非コンパクト型の対称空間からの結果を、統一された安定性理論的枠組みを用いて、厚いユークリッド的ビルディングへと拡張すること。

提案手法

• 測地線的線分の $Δ$-長さを、メトリック長さと方向を符号化するユークリッド的ウェイル・チャネル $Δ_{euc}$ 内のベクトルとして定義する。
• ティーツ境界 $Δ_{sph}$ 上の重み付き配置と関連付けるガウス写像の構成を導入し、ユークリッド的ビルディング内の向き付けられた $n$-角形を定義する。
• 重み付きバスマン関数 $b_{ψ}$ の漸近的性質を用いて、球面的ビルディング上の重み付き配置の半安定性を定義する。
• 転送定理を用いて、ティーツ境界のコーン上での多角形の存在性を元のビルディングへと持ち上げる。
• 弱収縮写像の不動点理論を適用し、半安定配置が実際に多角形のガウス写像として現れることを示す。
• ティーツ境界の離散的近似とバスマン関数の有界な下位集合を用いて、収束性と存在性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 向き付けられた $n$-角形の $Δ_{euc}$-値の辺長に課せられる制約は何か？
• RQ2 これらの辺長は無限遠におけるティーツ境界上の配置とどのように関係しているか？
• RQ3 与えられた $Δ$-辺長を持つ多角形の存在は、境界上の安定性条件によって特徴づけられるか？
• RQ4 可能な $Δ$-辺長の空間は、球面的ウェイル・チャネルにのみ依存するのか、それとも完全なビルディング構造に依存するのか？
• RQ5 ティーツ境界上の半安定な重み付き配置と、ビルディング内での実際に存在する多角形との正確な関係は何か？

主な発見

• 厚いユークリッド的ビルディング $X$ 内の向き付けられた $n$-角形の $Δ_{euc}$-値の辺長の集合 ${\cal P}_n(X)$ は、そのティーツ境界の球面的ウェイル・チャネル $Δ_{sph}$ にのみ依存する。
• ビルディング $X$ 内に $Δ$-辺長 $h$ の多角形が存在するための必要十分条件は、$Δ_{euc}$-重み $h$ を持つ半安定な重み付き配置がティーツ境界上に存在することである。
• 対称空間から生じる球面的コクセター複体に対しては、このような辺長の空間 ${\cal P}_n(\Delta_{sph})$ は、有限個の側面を持つ凸多面体錐である。
• 対称空間から生じない球面的コクセター複体（例：二面体群 $D_8$）に対しては、${\cal P}_n(\Delta_{sph})$ の構造は未解決のままだが、安定性フレームワークは依然として適用可能である。
• バスマン関数の下位集合上での弱収縮写像の不動点の存在は、半安定配置が実際に多角形のガウス写像として現れることを確認する。
• 転送定理により、ティーツ境界のコーン上での多角形の存在性を元のビルディングへと持ち上げることができ、$Δ$-辺長が保存される。