[論文レビュー] Polyhedral Representation of Discrete Morse Functions on Regular CW Complexes and Posets

Ethan D. Bloch|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2010

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限正則CW複体上の離散的モース関数と埋め込みられたバリセントリック分割上の多面体的モース関数の間の直接的な対応関係を確立する。適切なユークリッド空間への埋め込みのもとで、フォーマンの意味での離散的臨界セルはバーンホフの意味での多面体的臨界頂点に正確に対応し、一般の直線への射影によって臨界性が保存されることを証明する。

ABSTRACT

It is proved that every discrete Morse function in the sense of Forman on a finite regular CW complex can be represented by a polyhedral Morse function in the sense of Banchoff on an appropriate embedding in Euclidean space of the barycentric subdivision of the CW complex; such a representation preserves critical points. The proof is stated in terms of discrete Morse functions on a class of posets that is slightly broader than the class of face posets of finite regular CW complexes.

研究の動機と目的

• フォーマンの離散的モース理論とバンホフの多面体的モース理論の間の概念的ギャップを埋める。
• 広く引用されているが、表面上は異なるように思われる2つのモース理論的枠組みの間の明確な厳密な接続の欠如を解消する。
• フォーマンの離散的設定における臨界セルが、バンホフの多面体的設定における臨界頂点として幾何的に実現可能であることを示す。
• 正則CW複体のバリセントリック分割が、セルの臨界性が射影のもとで保存される、標準的な単体的構造を提供することを確立する。
• 任意の離散的モース関数に対して、臨界性が一般の線形射影のもとで保存される十分に高次元のユークリッド空間への埋め込みが存在することを示す。

提案手法

• 有限正則CW複体のバリセントリック分割を用いて、セルを単体的複体の頂点に変換する。
• x軸に沿った座標として離散的モース関数値を保存する写像を用いて、得られた単体的複体をユークリッド空間に埋め込む。
• 射影が最大値をとる頂点を含む単体における(-1)^dim(s)の和の符号に基づくバンホフの頂点インデックス公式を適用する。
• CW複体の面の順序集合の性質を活用し、離散的モース関数の臨界性条件と多面体的インデックスを関連付ける。
• 2-広い順序集合では、離散的モース条件が、それぞれのセルの値以上または以下となる一意な直前または直後のセルが存在することを意味することを用いる。
• 多面体的インデックスが非ゼロ（すなわち頂点が多面体的臨界）であることは、対応するセルが離散的臨界であることと同値であり、そのとき|a(φ(b), ξ)| = 1であり、符号はセルのランクによって決まる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォーマンの離散的モース関数は、有限正則CW複体上でバンホフの多面体的モース理論を用いて幾何的に実現可能か？
• RQ2 正則CW複体のバリセントリック分割をユークリッド空間に埋め込む、臨界セルが線形射影のもとで臨界頂点に対応するような標準的埋め込みが存在するか？
• RQ3 セルの離散的臨界性が、対応する重心におけるバンホフのインデックスが非ゼロであることと正確に一致するか？
• RQ4 離散的モース関数の臨界性条件は、単体的複体のバリセントリック分割における順序集合構造と射影によって誘導される順序に基づいて、純粋に記述可能か？
• RQ5 面の順序集合の順序論的性質とバンホフの枠組みにおける位相的不変量（インデックス）との正確な関係は何か？

主な発見

• 有限正則CW複体上の任意の離散的モース関数は、そのバリセントリック分割のユークリッド空間への埋め込みを通じて多面体的実現が可能である。
• 十分に大きな次元mに対して、任意のm次元空間R^mへの埋め込みが存在し、その中で離散的モース関数の臨界セルが正確に非ゼロバンホフインデックスを持つ頂点に対応する。
• 多面体的インデックスa(φ(b), ξ)が非ゼロであることは、対応するセルbが離散的臨界であることと同値であり、このとき|a(φ(b), ξ)| = 1であり、符号はセルのランクによって決定される。
• セルが離散的通常（ordinary）であるとき、多面体的インデックスはゼロであり、これは一意な直前または直後のセルが値≥または≤セルの値を満たすことを示唆する。
• この構成は、面の順序集合の構造と2-広い性質に依存しており、インデックス計算が離散的モース関数の局所的挙動にのみ依存することを保証する。
• 適切な回転と平行移動により、埋め込みを調整した後、任意の単位ベクトルξ∈S^{m-1}に対して、射影が一般的になるように保証され、結果は成り立つ。