[論文レビュー] Polyhedral studies of vertex coloring problems: The asymmetric representatives formulation

Víctor Campos, Ricardo C. Corrêa+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、頂点彩色問題の非対称代表元定式化に関する多面体的分析を提示し、対応する彩色多面体が導出されたグラフ $×G$ の安定集合多面体と等価であることを示している。これにより、三角形、パーム、キーティを誘導部分グラフとして含まない補グラフを持つグラフ族など、特定のグラフ族に対して完全な多面体的特徴付けが可能になる。既知の安定集合多面体に関する結果を活用している。

ABSTRACT

Despite the fact that some vertex coloring problems are polynomially solvable on certain graph classes, most of these problems are not "under control" from a polyhedral point of view. The equivalence between \emph{optimization} and \emph{polyhedral separation} suggests that, for these problems, there must exist formulations admitting some elegant characterization for the polytopes associated to them. Therefore, it is interesting to study known formulations for vertex coloring with the goal of finding such characterizations. In this work we study the asymmetric representatives formulation and we show that the corresponding coloring polytope, for a given graph $G$, can be interpreted as the stable set polytope of another graph obtained from $G$. This result allows us to derive complete characterizations for the corresponding coloring polytope for some families of graphs, based on known complete characterizations for the stable set polytope.

研究の動機と目的

• 非対称代表元定式化を用いた頂点彩色問題の多面体的特徴付けを提供すること。
• 前色付け拡張問題が多項式時間で解けるグラフ族と、完全な多面体的記述が得られるグラフ族を同定すること。
• 彩色多面体と導出グラフ $×G$ の安定集合多面体の間の対応関係を確立すること。
• この対応関係を通じて、既知の安定集合多面体の有効不等式を彩色多面体へと拡張すること。
• この定式化が、未解決の頂点彩色問題の変種を多項式時間で解く可能性を探索すること。

提案手法

• 非対称代表元定式化は、頂点 $i$ がその色クラス内で頂点 $j$ を代表するかどうかを示す2値変数 $x_{ij}$ を用いる。ここで $i < j$ かつ $ij \notin E$ である。
• 定式化は、頂点に全順序 $\prec$ を導入し、各色クラスに一意な代表元が存在することを保証することで、彩色多面体 $P^{\textsc{Co}}_{\prec}(G)$ を定義する。
• 重要な変換により、彩色多面体が $G$ から構築された導出グラフ $\mathcal{R}_G$ の安定集合多面体 $STAB(\mathcal{R}_G)$ に写像される。
• 本稿は、$P^{\textsc{Co}}_{\prec}(G)$ が $STAB(\mathcal{R}_G)$ に同型であることを証明し、安定集合多面体に関する既知の結果の移行を可能にする。
• 特定のグラフクラスにおける安定集合多面体の既知の特徴付けを用いて、$P^{\textsc{Co}}_{\prec}(G)$ の完全な記述を導出する。
• 解析は、補グラフに三角形、パーム、キーティを誘導部分グラフとして含まないグラフに適用され、完全な多面体的記述が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称代表元定式化は、多項式時間で解けるグラフ族における頂点彩色多面体に対して完全な多面体的記述をもたらすか？
• RQ2 彩色多面体と導出グラフ $\mathcal{R}_G$ の安定集合多面体との間の構造的関係は何か？
• RQ3 どのグラフ族に対して、導出グラフ $\mathcal{R}_G$ が安定集合多面体の特徴付けが既知のクラスに属するか？
• RQ4 安定集合多面体からの有効不等式は、この同型を通じて彩色多面体へと移行可能か？
• RQ5 もし $\mathcal{R}_G$ が準ライングラフまたは準ライングラフである場合、前色付け拡張問題は多項式時間で解けるか？

主な発見

• グラフ $G$ に対する彩色多面体 $P^{\textsc{Co}}_{\prec}(G)$ は、導出グラフ $\mathcal{R}_G$ の安定集合多面体 $STAB(\mathcal{R}_G)$ に同型である。
• 補グラフに三角形、パーム、キーティを誘導部分グラフとして含まないグラフに対して、$P^{\textsc{Co}}_{\prec}(G)$ の完全な多面体的特徴付けが得られる。
• 導出グラフ $\mathcal{R}_G$ は、$\overline{G}$ にキーティを含まない場合に準ライングラフであるが、必ずしもライングラフまたは準ライングラフとは限らない。
• $\mathcal{R}_G$ が準ライングラフである場合、$\mathcal{R}_G$ の安定集合多面体は0/1値の面のみを必要とするが、一般には成り立たない。
• 前色付け拡張問題がNP困難であるグラフ族に対しては、この定式化はP=NPでない限り完全な特徴付けをもたらさない。
• 同型関係により、$STAB(\mathcal{R}_G)$ に既知のすべての有効不等式を $P^{\textsc{Co}}_{\prec}(G)$ へと移行でき、多面体的記述が豊かになる。