[論文レビュー] Polyline Drawings with Topological Constraints

Emilio Di Giacomo, Peter Eades+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、非平面的グラフの位相的性質を保つ低曲率複雑性のポリライン図を提案する。平面的スケルトン（交差しない辺）が連結である場合、各辺に3本までの折り返しを許容することで、位相的性質を完全に保持する描画が可能であることを証明する。スケルネスがkのグラフに対しては、曲率複雑性が最大2kに抑えられ、k=1の場合は1にまで低下する。最適な2平面グラフでは、曲率複雑性が2のとき直角交差を達成でき、曲率複雑性が1のときには近似的に最適な交差角分解能を達成できる。

ABSTRACT

Let G be a simple topological graph and let Gamma be a polyline drawing of G. We say that Gamma partially preserves the topology of G if it has the same external boundary, the same rotation system, and the same set of crossings as G. Drawing Gamma fully preserves the topology of G if the planarization of G and the planarization of Gamma have the same planar embedding. We show that if the set of crossing-free edges of G forms a connected spanning subgraph, then G admits a polyline drawing that partially preserves its topology and that has curve complexity at most three (i.e., at most three bends per edge). If, however, the set of crossing-free edges of G is not a connected spanning subgraph, the curve complexity may be Omega(sqrt{n}). Concerning drawings that fully preserve the topology, we show that if G has skewness k, it admits one such drawing with curve complexity at most 2k; for skewness-1 graphs, the curve complexity can be reduced to one, which is a tight bound. We also consider optimal 2-plane graphs and discuss trade-offs between curve complexity and crossing angle resolution of drawings that fully preserve the topology.

研究の動機と目的

• 非平面的グラフの位相的特徴を保つポリライン図の研究。
• 位相を保ちながら、各辺の最大折り曲げ数（曲率複雑性）を最小化すること。
• スケルネス-kや最適2平面グラフなどの「平面的でない」グラフ族が、低複雑性の図を許容するかの特徴付け。
• 位相を保つ図における曲率複雑性と交差角分解能のトレードオフの探求。

提案手法

• 部分的および完全な位相的保全の定義：同一の外部境界、回転系、交差、および平面化の平面埋め込みを含む。
• 平面化と弦に基づく局所的変更を用い、交差と角度を保ちつつ折り曲げを伴う辺の埋め込みを実現。
• Chibaらのアルゴリズム[7]を用いて、最適2平面グラフの凸面図を計算。
• 交差点に弦を割り当て、折り曲げを伴う局所的再構成により直角交差を達成。
• 交差点付近に折り曲げを配置し、線分の傾きを制御し、小さな交差角を保証。
• 非連結な平面的スケルトンと擬似直線配置に関する組合せ的議論により下界を証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低曲率複雑性のポリライン図は、非平面的グラフの位相的性質を完全に保つことができるか？
• RQ2 平面的スケルトンが非連結の場合、位相を保つ図のための最小曲率複雑性は何か？
• RQ3 スケルネスがポリライン図の曲率複雑性にどのように影響するか？
• RQ4 2平面グラフにおいて、曲率複雑性が1のとき、交差角分解能を最適化（π/2）できるか？
• RQ5 位相を保つ図において、同時に最適な交差角分解能と曲率複雑性1を達成することは可能か？

主な発見

• 平面的スケルトンが連結であれば、曲率複雑性が3以下であるポリライン図により、位相的性質を完全に保つことができる。
• 双連結な平面的スケルトンの場合、曲率複雑性を1にまで低減でき、これは最悪ケースで最適である。
• 平面的スケルトンが非連結である場合、曲率複雑性はΩ(√n)に達する可能性がある。
• スケルネスがkのグラフに対しては、曲率複雑性が2k以下である位相を保つ図が存在し、k=1の場合は1にまで低下する。
• 最適2平面グラフは、合計で2本の折り曲げを伴い、直角交差を達成する図を持つ。
• 最適2平面グラフは、曲率複雑性が1のとき、交差角分解能をπ/2に限りなく近づけることができ、曲率複雑性が2のときには正確にπ/2を達成できる。