[論文レビュー] Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of $\zeta(3)$ and $\zeta(5)$

David Broadhurst|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 1998

Advanced Mathematical Identities参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、多項対数的階段と超幾何級数を用いて、ζ(3)およびζ(5)の1000万番目の16進数値をO(d log³ d)時間およびO(log d)空間で計算できることを確立している。ζ(3)、ζ(5)、およびπ、log 2、カタラン定数、πとlog 2の累乗の積を含む17の関連定数がSC∗クラスに属することを証明し、多項対数関数の関数的恒等式と新規の超幾何生成関数により、超高速な桁計算が可能となる。

ABSTRACT

We develop ladders that reduce $\zeta(n):=\sum_{k>0}k^{-n}$, for $n=3,5,7,9,11$, and $\beta(n):=\sum_{k\ge0}(-1)^k(2k+1)^{-n}$, for $n=2,4,6$, to convergent polylogarithms and products of powers of $\pi$ and $\log2$. Rapid computability results because the required arguments of ${ m Li}_n(z)=\sum_{k>0}z^k/k^n$ satisfy $z^8=1/16^p$, with $p=1,3,5$. We prove that $G:=\beta(2)$, $\pi^3$, $\log^32$, $\zeta(3)$, $\pi^4$, $\log^42$, $\log^52$, $\zeta(5)$, and six products of powers of $\pi$ and $\log2$ are constants whose $d$th hexadecimal digit can be computed in time~$=O(d\log^3d)$ and space~$=O(\log d)$, as was shown for $\pi$, $\log2$, $\pi^2$ and $\log^22$ by Bailey, Borwein and Plouffe. The proof of the result for $\zeta(5)$ entails detailed analysis of hypergeometric series that yield Euler sums, previously studied in quantum field theory. The other 13 results follow more easily from Kummer's functional identities. We compute digits of $\zeta(3)$ and $\zeta(5)$, starting at the ten millionth hexadecimal place. These constants result from calculations of massless Feynman diagrams in quantum chromodynamics. In a related paper, hep-th/9803091, we show that massive diagrams also entail constants whose base of super-fast computation is $b=3$.

研究の動機と目的

• ζ(3)、ζ(5)、およびカタラン定数やπ、log 2の累乗といった関連定数が、超高速な桁計算が可能なSC∗クラスに属するかどうかを特定すること。
• バーレイ＝ボルワイン＝プロフ氏のBBP法をπ、log 2、π²、log²2を越えて、より高いゼータ値およびオイラー和へ拡張すること。
• 多項対数的階段と超幾何生成関数を構築し、多重ゼータ値およびディリクレのバータ関数値を、π、log 2、およびそれらの累乗の迅速な計算可能な組み合わせに還元すること。
• これらの新規表現を用いて、ζ(3)およびζ(5)の1000万番目の16進数値を計算すること。

提案手法

• Kummerの関数的恒等式とz⁸ = 1/16ᵖ（p = 1, 3, 5）となる特殊値zを用いて多項対数的階段を導出し、ζ(n)およびβ(n)を収束する多項対数関数に還元する。
• Liₙ(z)の関数的関係を適用し、ζ(3)、ζ(5)、および関連定数を単位根および代数的数における多項対数関数の組み合わせとして表現する。
• 超幾何級数を用いてオイラー和を生成し、線形積分およびポッヒハマー記号の恒等式を用いてその関係をゼータ値と結びつける。
• 符号計算（Reduce）を用いて、n ≤ 11の順序において関数的恒等式の導出を自動化する。
• 高精度PSLQおよび符号代数を用いて整数関係を検証し、導出された恒等式の完全性を保証する。
• モジュラー算術と級数加速を用いて桁を計算し、312ビットの精度と333 MHzマシンでの0.3 MBのメモリを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ζ(3)およびζ(5)は、πやlog 2と同様に、対数的空間とほぼ線形時間で、BBP型の公式により計算可能か？
• RQ2 πⁿ、logⁿ2、カタラン定数、ζ(n)（n = 3, 5, 7, 9, 11）の組み合わせは、高速な桁抽出が可能なSC∗クラスに属するか？
• RQ3 ζ(5)の評価に現れるオイラー和を裏付ける超幾何生成関数は何か？
• RQ4 多項対数関数の関数的恒等式を体系的に用いて、多重ゼータ値およびディリクレのバータ関数値をSC∗計算可能な形に還元可能か？
• RQ5 非オイラー和の生成関数に対して、観察された特異性と有理的漸近的性質を一致させる超幾何表現は存在するか？

主な発見

• ζ(3)の1000万番目の16進数値は CDA018F4E167F435B2AB045FB045A42F86BED12EF82BE2E1C6ECD305E92C5E4B である。
• ζ(5)の1000万番目の16進数値は F7A15E1277F7B2C04106F04B05C48AC71ACECAB14D555FDA6E5E1EC299535511 である。
• π、log 2、π³、log³2、ζ(3)、π⁴、log⁴2、log⁵2、ζ(5)、およびそれらの積を含む全18の定数がSC∗クラスに属し、d番目の16進数値がO(d log³ d)時間およびO(log d)空間で計算可能である。
• カタラン定数Gの新しい公式 G = 3 S₂,₁(1,−1,1,0,−1,1,−1,0) − 2 S₂,₃(1,1,1,0,−1,−1,−1,0) が導出され、高速な桁計算が可能となる。
• 本稿では、ポッヒハマー記号を伴う超幾何級数が生成するオイラー和の特異性が三角関数と一致することを証明し、生成関数の構造を確認した。
• ζ(5)の1000万番目の桁の計算は、333 MHzのDecAlpha 600で0.3 MBのメモリのみを用いて19時間で達成され、この手法の効率性が裏付けられた。