[論文レビュー] Polylogarithms, regulators and Arakelov motivic complexes

A. B. Goncharov|ArXiv.org|Jul 3, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、正則な射影的複素数の多様体に対して、Blochの高次チャウ複体から重み $ n $ のデリーニュ複体への明示的なレギュレータ写像を構成し、そのコーンとしてアラケロフ・モチビック複体を定義する。Grassmannian ポリログ関数と対称空間 $ SL_n(\mathbb{C})/SU(n) $ の関係を確立し、ディログ関数を用いて双曲的3単体の体積に関するロバチェフスキーの公式を回復する。また、これらのポリログ関数を用いて $ K_{2n-1}(\mathbb{C}) $ 上のボレル・レギュレータを構成し、チャウ・ディログ関数に関する強化された相互法則を証明する。

ABSTRACT

We construct an explicit regulator map from the weigh n Bloch Higher Chow group complexto the weight n Deligne complex of a regular complex projective algebraic variety X. We define the Arakelovweight n motivic complex as the cone of this map shifted by one. Its last cohomology group is (a version of) the Arakelov Chow group defined by H. Gillet. and C.Soule. We relate the Grassmannian n-logarithms (defined as in [G5]) to geometry of the symmetric space for GL_n(C). For n=2 we recover Lobachevsky's formula for the volume of an ideal geodesic tetrahedron via the dilogarithm. Using the relationship with symmetric spaces we construct the Borel regulator on K_{2n-1}(C) via the Grassmannian n-logarithms. We study the Chow dilogarithm and prove a reciprocity law which strengthens Suslin's reciprocity law for Milnor's K_3 on curves.

研究の動機と目的

• 正則な射影的複素数の多様体 $ X $ に対して、重み $ n $ の高次チャウ複体 $ \mathcal{Z}^\bullet(X;n) $ から重み $ n $ のデリーニュ複体 $ \mathcal{C}^\bullet_\mathcal{D}(X(\mathbb{C});n) $ への明示的なレギュレータ写像を定義すること。
• このレギュレータ写像のコーンを $ -1 $ シフトしたものとして、重み $ n $ のアラケロフ・モチビック複体を構成し、その最後のコホモロジー群がアラケロフ・チャウ群に一致することを同定すること。
• Grassmannian $ n $-ログ関数を対称空間 $ SL_n(\mathbb{C})/SU(n) $ の幾何と関連づけ、これにより $ K_{2n-1}(\mathbb{C}) $ 上のボレル・レギュレータを構成すること。
• チャウ・ディログ関数を研究し、曲線上の $ K^M_3 $ に対して強化された相互法則を証明すること。

提案手法

• Blochの高次チャウ複体 $ \mathcal{Z}^\bullet(X;n) $ から重み $ n $ のデリーニュ複体 $ \mathcal{C}^\bullet_\mathcal{D}(X(\mathbb{C});n) $ への複体の準同型を構成する。
• この写像のコーンを $ -1 $ シフトすることで、重み $ n $ のアラケロフ・モチビック複体を定義し、導来カテゴリの対象を得る。
• Grassmannian $ n $-ログ関数を、微分形式の積分を介して対称空間 $ SL_n(\mathbb{C})/SU(n) $ 上の不変体積形式と関連づける。
• 分布的計算を用いて、$ SL_n(\mathbb{C})/SU(n) $ 内の理想ジオデシック単体の体積を計算し、ディログ関数を用いて表現する。
• 単体 $ \Delta_{2n-1} $ 内のcodimension-$ n $ のサイクル上で評価されたチャウ・ポリログ関数を用いて、$ GL(\mathbb{C}) $ 上の $ (2n-1) $-コサイクルを構成する。
• チャウ・ポリログ関数の関数方程式と、ベクトルの非一般的配置の幾何を用いて、コサイクル性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モチビックコホモロジー上のレギュレータ写像を、複体のレベルで明示的に構成できるか？
• RQ2 対称空間 $ SL_n(\mathbb{C})/SU(n) $ 内の理想ジオデシック単体の体積は、Grassmannian ポリログ関数で表現可能か？
• RQ3 チャウ・ディログ関数は、曲線上の $ K^M_3 $ に対して、ススリンの相互法則を強化する相互法則を満たすか？
• RQ4 Grassmannian $ n $-ログ関数を用いて、$ K_{2n-1}(\mathbb{C}) $ 上のボレル・レギュレータを構成できるか？
• RQ5 構成された $ GL(\mathbb{C}) $ 上の $ (2n-1) $-コサイクルのコホモロジー類は非自明で、ボレル類に比例するか？

主な発見

• $ SL_3(\mathbb{C})/SU(3) $ 内の理想ジオデシック単体の体積は、$ -6\pi c_3 \cdot \mathcal{L}_2(a) $ に比例し、$ c_3 = -1/(6\pi) $ である。これによりロバチェフスキーの公式が回復される。
• Grassmannian $ n $-ログ関数の構成は、$ \mathbb{C}P^{n-1} $ 内の $ 2n $ 個の超平面の配置に対する関数を提供するが、$ n > 2 $ の場合の収束性はまだ証明されていないが期待されている。
• チャウ・ディログ関数は、曲線上の $ K^M_3 $ に対して、ススリンの相互法則を強化する相互法則を満たす。
• Grassmannian $ n $-ログ関数を用いて、$ K_{2n-1}(\mathbb{C}) $ 上のボレル・レギュレータが明示的に構成され、代数的 $ K $-理論と対称空間幾何の間の関係が確立される。
• チャウ・ポリログ関数から導かれる $ GL(\mathbb{C}) $ 上の $ (2n-1) $-コサイクルは可測であり、関数方程式を介してコサイクル条件を満たす。
• 構成されたコサイクルのコホモロジー類は、非自明でボレル類に比例すると予想されており、ボレル・レギュレータの新たな実現を与える。