[論文レビュー] Polynomial bounds in the Ergodic Theorem for positive recurrent one-dimensional diffusions and integrability of hitting times

Dasha Loukianova, Oleg Loukianov+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 40被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、再生および到達時刻のモーメント条件を用いて、1次元の正再帰型拡散過程におけるエルゴード定理の非漸近的多項式偏差バウンドを確立する。$\mathbb{P}_{\nu}\left(\left|\frac{1}{t}\int_0^t f(X_s)ds - \mu(f)\right| > \varepsilon\right) \leq K(p) \varepsilon^{-p} t^{-\alpha/2} A(f)^p$ の形のバウンドが得られ、ここで $\alpha = p$（$p \geq 2$ の場合）および $\alpha = p-1$（$1 < p < 2$ の場合）、到達時刻の $p$ 階モーメントの可積分性の下で成立する。

ABSTRACT

Let $X$ be a one dimensional positive recurrent diffusion with initial distribution $ν$ and invariant probability $μ$. Suppose that for some $p&gt; 1$, $\exists a\in\R$ such that $\forall x\in\R, \E_x T_a^p

研究の動機と目的

• 1次元の正再帰型拡散過程における加法的関数への経験的平均の非漸近的偏差バウンドを導出すること。
• エルゴード定理における収束速度が指数的ではなく多項式的であるための条件を確立すること。
• 到達時刻のモーメントの可積分性とエルゴード定理における収束速度の関係を結びつけること。
• 到達時刻の多項的モーメントバウンドを導くために、ドリフトおよび拡散係数に必要な十分条件を提示すること。

提案手法

• 再生法を用い、再生時刻の可積分性に依存して偏差バウンドを導出する。
• 一般化されたカックの公式を適用して、滑らか関数 $f$ に対して $\mathbb{E}_x[f(T_a)]$ のモーメントを計算し、到達時刻のモーメントを制御可能にする。
• 有界またはcompactlyな台を持つ $f$ に対して、$\mathbb{P}_{\nu}\left(\left|\frac{1}{t}\int_0^t f(X_s)ds - \mu(f)\right| > \varepsilon\right) \leq K(p) \varepsilon^{-p} t^{-\alpha/2} A(f)^p$ の形の非漸近的バウンドを導出する。ここで $\alpha = p$（$p \geq 2$ の場合）および $\alpha = p-1$（$1 < p < 2$ の場合）。
• ドリフト $\beta(x)$ および拡散 $\sigma(x)$ の増大率に基づき、$\mathbb{E}_x T_a^p$ の多項的上界および下界を $x$ の関数として確立する。
• ドリフト $\beta(x)$ および拡散 $\sigma(x)$ に、$|\beta(x)| \sim |x|^r$ および $\sigma^2(x) \sim |x|^{2\gamma}$（$|x|$ が大きい場合）の条件を課し、モーメントバウンドを導出する。
• 初期分布が適切であれば、$\mathbb{E}_\nu T_a^{p/2} < \infty$ および $\mathbb{E}_x T_a^p < \infty$（すべての $x$ に対して）が成り立つことを利用して、偏差バウンドの有効性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトおよび拡散係数にどのような条件下で、有界またはcompactlyな台を持つ関数の経験的平均が $t$ に関して多項的収束するか？
• RQ2 1次元拡散過程に対して、エルゴード定理における収束速度を非漸近的にどのように定量的に評価できるか？
• RQ3 到達時刻のモーメントの可積分性と加法的関数への多項的偏差バウンドとの間の正確な関係は何か？
• RQ4 係数の増大挙動から $\mathbb{E}_x T_a^p$ の多項的バウンドを導出可能か？また、それらは収束速度にどのように影響するか？
• RQ5 $\beta(x)$ および $\sigma(x)$ にどのような十分条件を課すと、$p > 1$ に対して $\mathbb{E}_x T_a^p < \infty$ が成立するか？

主な発見

• $p \geq 2$ の場合、偏差バウンドは $t^{-p/2}$ の速度で減少するが、$1 < p < 2$ の場合、$t^{-(p-1)/2}$ の速度で減少する。これは、到達時刻モーメントの可積分性の順序が収束速度に依存することを示している。
• バウンド $\mathbb{P}_{\nu}\left(\left|\frac{1}{t}\int_0^t f(X_s)ds - \mu(f)\right| > \varepsilon\right) \leq K(p) \varepsilon^{-p} t^{-\alpha/2} A(f)^p$ は、有界な $f$ に対しては $A(f) = \|f\|_\infty$、有界かつcompactlyな台を持つ $f$ に対しては $A(f) = \mu(|f|)$ とし、提示されたモーメント条件の下で成立する。
• 大きな $|x|$ に対して $\beta(x) \sim |x|^r$ および $\sigma^2(x) \sim |x|^{2\gamma}$ が成り立つとき、$2r + 2\gamma > 1$ の下で、$p$ 階モーメントは $\mathbb{E}_x T_a^p \sim x^{2p(1-\gamma)}$ と近似され、モーメント成長の多項的制御が可能になる。
• $2r + 2\gamma > 1$ のとき、$\mathbb{E}_\nu T_b^{p/2} < \infty$ が成り立つための十分条件は $\int_{\mathbb{R}} |x|^{p(1-\gamma)} d\nu(x) < \infty$ であり、初期分布と偏差バウンドの有効性の関係が明確に示される。
• $2r + 4\gamma > 3$ のとき、系5.10により、compactlyな台を持つ $f$ に対して、$t^{-p/2}$ のレートで多項的偏差バウンドが保証される。ただし $\int_{\mathbb{R}} |x|^{p(1-\gamma)} d\nu(x) < \infty$ であり、正規化因子として $\mu(|f|)$ が用いられる。
• 一般化されたカックの公式（定理4.1）により、滑らか関数 $f$ に対して $\mathbb{E}_x f(T_a)$ を正確に計算可能となり、これは到達時刻のモーメントバウンドを導出する上で不可欠である。