[論文レビュー] Polynomial Chaos Expansion for general multivariate distributions with correlated variables

Maria Navarro Jimenez, Jeroen Witteveen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2014

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 36被引用数 41

ひとこと要約

本稿では、相関のある多変量分布に対して直交多項式基底を構築する一般化された多項式クラウド展開（PCE）手法を提案する。この手法により、入力の独立性を仮定せずとも、高精度な不確実性定量化が可能となる。標準PCEと同等の収束速度と計算効率を維持し、平均、分散、Sobol’インデックスは追加コストなしに計算可能であることが、相関強度が異なる常微分方程式（ODE）モデルおよび酵素反応モデルで示された。

ABSTRACT

Recently, the use of Polynomial Chaos Expansion (PCE) has been increasing to study the uncertainty in mathematical models for a wide range of applications and several extensions of the original PCE technique have been developed to deal with some of its limitations. But as of to date PCE methods still have the restriction that the random variables have to be statistically independent. This paper presents a method to construct a basis of the probability space of orthogonal polynomials for general multivariate distributions with correlations between the random input variables. We show that, as for the current PCE methods, the statistics like mean, variance and Sobol' indices can be obtained at no significant extra postprocessing costs. We study the behavior of the proposed method for a range of correlation coefficients for an ODE with model parameters that follow a bivariate normal distribution. In all cases the convergence rate of the proposed method is analogous to that for the independent case. Finally, we show, for a canonical enzymatic reaction, how to propagate experimental errors through the process of fitting parameters to a probabilistic distribution of the quantities of interest, and we demonstrate the significant difference in the results assuming independence or full correlation compared to taking into account the true correlation.

研究の動機と目的

• 従来のPCE手法が統計的に独立な入力を必要としているという制限を克服し、任意の相関を持つ一般多変量分布に対してもPCEを可能にする。
• 入力を変換または分離せずに、相関のある確率変数の確率空間において直交多項式基底を構築する手法を開発する。
• 標準統計量（平均、分散、Sobol’インデックス）が、標準PCEフレームワークを超えて追加コストなしに計算可能であることを保証する。
• 合成的および実世界のモデルを用いて、相関強度の変動にわたる収束特性とロバストネスを実証する。
• 特に実験誤差伝播を伴う生化学的系において、相関の実際の影響が感度解析およびモデル解釈に与える影響を示す。

提案手法

• 相関のある入力の連続確率密度関数によって定義される内積を用いて、二階可積分確率変数のヒルベルト空間において直交多項式基底を構築する。
• 多項式基底に対してグラム・シュミットの直交化を適用し、相関を含む結合分布に明示的に適合した直交多項式を生成する。
• 目的変数（QoI）の展開を、正確な積分またはモンテカルロサンプリングにより計算された内積を用いて、この基底に射影する。
• モーメント（平均、分散）およびSobol’インデックスは、展開係数から直接導出され、追加の後処理は不要である。
• 本手法は、相関係数を変化させた2変量正規分布のODEモデルおよび実験誤差伝播を伴う標準的な酵素反応系を用いて検証された。
• 将来的な高速化のため、モーメントおよび係数計算のためのガウス求積法の開発が進行中である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力変数間に任意の相関がある多変量分布に対して、一般化された多項式クラウド展開を構築できるか？
• RQ2 入力が相関を持つ場合でも、提案手法が標準PCEと同等の収束速度を維持するか？
• RQ3 入力パrameter間の相関が、特にSobol’インデックスと比較して独立性を仮定した場合に感度解析結果に与える影響は何か？
• RQ4 実際の相関が、実験誤差を伴う生化学的反応モデルにおける不確実性伝播に与える影響は何か？
• RQ5 入力変換を必要とせず、既知の相関構造を持つ実験データに本手法を適用できるか？

主な発見

• 提案手法は、入力変数が完全に相関していても、非相関の場合と同等の収束速度を達成し、相関強度の変動にわたってロバストであることが示された。
• 2変量正規分布のODEモデルでは、相関係数がゼロから完全相関に至るまで、解の統計的特性を正確に捉えた。
• 酵素反応モデルでは、独立性を仮定した場合、$k_3$が無視可能であると誤って結論づけられたが、真の相関を考慮に入れることで、基質濃度の分散に著しい影響を与えることが明らかになった。
• 全Sobol’インデックスは、相関がある場合、$k_1$ や $k_2$ が非自明なキャンセル効果を示し、単純に個々の寄与を解釈すると誤解を招く可能性があることを示した。
• 本手法により、パラメータフィッティングを通じた実験誤差の正確な伝播が可能となり、状態変数の確率的記述が得られ、最適な実験設計を支援する。
• Sobol’インデックスに必要な高次モーメントは、多項式次数および相関強度とともに急激に増加し、相関係数$\varrho = 0.9$では次数75のモーメントが$10^{21}$に達するなど、高次元設定における数値的課題が顕著になった。