[論文レビュー] Polynomial complementarity problems

M. Seetharama Gowda|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 14被引用数 42

ひとこと要約

本稿は、多項式写像 f とその先頭同次項 f^∞ の関係を分析することにより、多項式補完問題（PCPs）が非空かつコンパクトな解集合を持つための条件を確立する。主な結果は、PCP(f^∞, 0) の唯一の解がゼロであり、かつ原点における min{x, f^∞(x)} のトポロジカル次数が非ゼロであるならば、任意の q ∈ ℝⁿ に対して PCP(f, q) が解をもつことである。これは、既存のテンソル補完問題の結果を顕著に一般化するものである。

ABSTRACT

Given a polynomial map f on the Euclidean n-space and a vector q, the polynomial complementarity problem, PCP(f,q), is the nonlinear complementarity problem of finding a nonnegative vector x such that y=f(x)+q is nonnegative and orthogonal to x. It is called a tensor complementarity problem if the polynomial map is homogeneous. In this paper, we establish results connecting the polynomial complementarity problem PCP(f,q) and the tensor complementarity problem PCP(f*,0), where f* is the leading term in the decomposition of f as a sum of homogeneous polynomial maps. We show, for example, that PCP(f,q) has a nonempty compact solution set for every q when zero is the only solution of PCP(f*,0)and the local (topological) degree of min{x,f*(x)} at the origin is nonzero. As a consequence, we establish Karamardian type results for polynomial complementarity problems. By identifying a tensor A of order m and dimension n with its corresponding homogeneous polynomial F(x):= Ax^{m-1}, we relate our results to tensor complementarity problems. These results show that under appropriate conditions, PCP(F+P,q) has a nonempty compact solution set for all polynomial maps P of degree less than m-1 and for all vectors q, thereby substantially improving the existing tensor complementarity results where only problems of the type PCP(F,q) are considered. We introduce the concept of degree of an R_0-tensor and show that the degree of an R-tensor is one. We illustrate our results by constructing matrix based tensors.

研究の動機と目的

• 多項式写像の漸近的挙動を分析することにより、多項式補完問題（PCPs）のグローバル可解性条件を確立すること。
• 線形およびテンソル補完問題から Karamardian 型の結果を、より広いクラスの多項式写像へ一般化すること。
• R₀-テンソルの次数の概念を導入・分析し、R₀-テンソルが次数 1 をもつことを示すこと。
• F が次数 m のテンソルに対応するとき、次数 m−1 未満の任意の多項式写像 P とすべての q に対して、PCP(F + P, q) が非空かつコンパクトな解集合をもつことの証明。
• f が共正でなくても、f^∞ が共正であれば、すべての q に対して PCP(f, q) の解集合が非空かつコンパクトとなる条件の特定。

提案手法

• 本稿は多項式写像 f を同次成分に分解し、f^∞ を次数 m−1 の先頭同次項として特定する。
• トポロジカル次数論を用いて、特に次数が非ゼロである場合に、原点における min{x, f^∞(x)} の局所的挙動を分析する。
• PCP(f, q) の解集合と PCP(f^∞, 0) の解集合との関係を、同次性と極限挙動を用いて結びつける。
• 変分不等式および補完問題理論を適用し、PCP(f, q) の可解性が f^∞ の構造およびその解集合の双対錐にどのように関連するかを明らかにする。
• R₀-テンソルの次数の概念を導入し、トポロジカル次数を用いて可解性および一意性を特徴付ける。
• 行列に基づくテンソルを用いた例を構築し、特に反対称および共正写像の文脈で理論的結果を図示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の q ∈ ℝⁿ に対して、多項式補完問題 PCP(f, q) が非空かつコンパクトな解集合をもつための条件は何か？
• RQ2 PCP(f^∞, 0) が唯一の自明解しか持たない場合に、PCP(f, q) の可解性が f^∞ の性質に依存する条件は何か？
• RQ3 原点における写像 min{x, f^∞(x)} のトポロジカル次数が、PCP(f, q) のグローバル可解性にどのように影響するか？
• RQ4 線形およびテンソル補完問題から Karamardian 型のグローバル可解性結果を、一般の多項式補完問題へ拡張できるか？
• RQ5 R₀-テンソルの次数の意味は何か？また、これはテンソル補完問題における解の可解性および一意性とどのように関係するか？

主な発見

• PCP(f^∞, 0) の唯一の解がゼロであり、かつ原点における min{x, f^∞(x)} のトポロジカル次数が非ゼロであるならば、任意の q ∈ ℝⁿ に対して PCP(f, q) は非空かつコンパクトな解集合をもつ。
• 本稿は Karamardian 型の結果を証明する：PCP(f^∞, 0) および PCP(f^∞, d) がいずれも d > 0 に対して唯一のゼロ解をもつならば、任意の q に対して PCP(f, q) は可解である。
• 次数 m のテンソル 𝒜 に対して、TCP(𝒜, 0) および TCP(𝒜, d) がいずれも唯一のゼロ解をもつならば、任意の次数 m−1 未満の多項式写像 P とすべての q に対して、PCP(F + P, q) は非空かつコンパクトな解集合をもつ。
• R₀-テンソルの次数が 1 に等しいことが示され、これはテンソル補完問題の可解性に対するトポロジカル的特徴付けを提供する。
• PCP(f, q) の解集合は、同次多項式写像に対しても閉集合でないことがある。反例により、解が存在する q の集合が閉集合でないことが示された。
• f^∞ の共正性だけでは、グローバル可解性は保証されない。反例として反対称行列を用いた例により、PCP(f^∞, 0) の唯一の解がゼロであるという条件が併せられていなければ、共正性だけでは不十分であることが示された。