[論文レビュー] Polynomial entropies for Bott nondegenerate Hamiltonian systems

Clémence Labrousse, Jean-Pierre Marco|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2012

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、コンpaktoなエネルギー準位上でボット非退化なハミルトニアン系の多項式エントロピーを調査し、動的整合性およびボット非退化性の条件下で弱多項式エントロピー $\mathrm{h_{pol}^*}$ が \{0,1\} に、多項式エントロピー $\mathrm{h_{pol}}$ が \{0,1,2\} に値をとることを確立している。著者らは、正規形、モデル系への共役、歪み推定を用いて被覆数の成長率を分析し、このような系における整数値エントロピー不変量を証明した。

ABSTRACT

In this paper, we study the entropy of a Hamiltonian flow in restriction to an enregy level where it admits a first integral which is nondegenerate in the Bott sense. It is easy to see that for such a flow, the topological entropy vanishes. We focus on the polynomial and the weak polynomial entropies. We prove that, under conditions on the critical level of the Bott first integral and dynamical conditions on the hamiltonian function, the weak polynomial entropy belongs to {0,1} and the polynomial entropy belongs to {0,1,2}.

研究の動機と目的

• エネルギー準位にボット非退化な第一積分を持つハミルトニアン系の流れの多項式エントロピーと弱多項式エントロピーを分析すること。
• 動的整合性およびボット非退化性の下で、これらのエントロピー不変量が取り得る値を特定すること。
• このような系において多項式エントロピーが整数値をとることを確立し、トポロジカルエントロピーを越えた動的複雑性の理解を洗練させること。
• エントロピーを歪み推定および被覆数の成長率を用いて計算するため、$p$-モデル系への共役構成を開発すること。

提案手法

• 双曲的軌道の近傍における正規座標の使用により、臨界部分多様体の近傍での力学を線形化すること。
• 適切な断面の構成と、流れと $p$-モデル系との間の共役を構築し、エントロピー計算をより単純な力学系に還元すること。
• $\Delta(a,t)$ 関数を用いた歪み推定を適用し、時間経過に伴う位相空間内での分離の成長を制御すること。
• $\varphi$-方向におけるストリップ分解と区間被覆を用いて、被覆数 $D_N^\phi(\mathscr{A}, \varepsilon)$ の推定を行うこと。
• $r$-変数における幅の指数的減衰推定を用いて歪みを制御し、$\varepsilon$-分離境界を保証すること。
• 複数のストリップ $\mathbf{S}_k$ における推定を組み合わせ、$k$ について総和をとることで、全被覆数成長を $\alpha_\varepsilon N^2$ で上から抑える。これにより $\mathrm{h_{pol}} \geq 2$ が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的整合性の下で、ボット非退化なハミルトニアン系の弱多項式エントロピー $\mathrm{h_{pol}^*}$ が取り得る値は何か？
• RQ2 同じ条件下で、多項式エントロピー $\mathrm{h_{pol}}$ が取り得る値は何か？
• RQ3 動的整合性条件は、系における被覆数の成長率にどのように影響するか？
• RQ4 エントロピー計算を簡略化するために、系をモデル系へ共役化できるか？
• RQ5 被覆数 $D_N^\phi(\mathscr{A}, \varepsilon)$ の正確な漸近的成長率は何か？ そして、多項式エントロピーとどのように関係するか？

主な発見

• 動的整合性およびボット非退化なハミルトニアン系において、弱多項式エントロピー $\mathrm{h_{pol}^*}$ は 0 または 1 である。
• 同じ条件下で、多項式エントロピー $\mathrm{h_{pol}}$ は 0、1、または 2 である。
• 被覆数 $D_N^\phi(\mathscr{A}, \varepsilon)$ は高々 $\alpha_\varepsilon N^2$ の割合で成長し、系が非自明な場合 $\mathrm{h_{pol}} \geq 2$ を示唆する。
• エントロピー値は離散的かつ整数値をとり、トポロジカルエントロピーを超えた動的複雑性の分類の洗練を示している。
• 証明は、$p$-モデル系への共役の構成と、$\Delta(a,t)$ およびストリップ分解による歪み推定に依存している。
• 被覆数の上界は $\tilde{\alpha}_\varepsilon N^2 + \frac{2}{\varepsilon}(i^* + Ni^{**} + p)$ であり、2次多項式成長を確認している。