[論文レビュー] Polynomial entropy for the circle homeomorphisms and for $C^1$ nonvanishing vector fields on $\T^2$

Clémence Labrousse|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、2次元トーラス上の回転を保存する円周のホメオモルフィズムおよび$C^1$非消滅ベクトル場の多項式エントロピーを確立する。円周ホメオモルフィズムは、回転に共役である場合に限り多項式エントロピーが0であり、それ以外の場合は1である。トーラス上の流れについては、多項式エントロピーは[0,1]の範囲にあり、周期軌道が存在する場合、回転に共役でない限り1である。これらの結果は、位相的エントロピーを越える複雑さの測度を精緻化するために、動的距離と被覆数の推定を用いる。

ABSTRACT

We prove that the polynomial entropy of an orientation preserving homeomorphism of the circle equals 1 when the homeomorphism is not conjugate to a rotation and that it is 0 otherwise. In a second part we prove that the polynomial entropy of a flow on the two dimensional torus associated with a $C^1$ nonvanishing vector field is less that $1$. We moreover prove that when the flow possesses periodic orbits its polynomial entropy equals 1 unless it is conjugate to a rotation (in this last case, the polynomial entropy is zero).

研究の動機と目的

• 多項式エントロピーをより細かい尺度として導入することで、位相的エントロピーを超える動的複雑さの分析を精緻化すること。
• 回転を保存する円周ホメオモルフィズムの正確な多項式エントロピーの値を特定すること。
• $C^1$非消滅ベクトル場の2次元トーラス上での多項式エントロピーを推定し、周期軌道および回転への共役性との関係を特徴付けること。
• 回転とデニョイ型ホメオモルフィズムのようなゼロエントロピー系を区別できる、より洗練されたゼロエントロピー系の分類を提供すること。

提案手法

• 軌道の分離を時間経過で測るため、動的距離$d_n^f(x,y) = \max_{0 \leq k \leq n-1} d(f^k(x), f^k(y))$を用いる。
• 被覆数$G_n^f(Y,\varepsilon)$の成長率を用いて多項式エントロピーを定義し、具体的には$\lim_{\varepsilon \to 0} \limsup_{n \to \infty} \frac{\log G_n^f(Y,\varepsilon)}{\log n}$を用いる。
• $(n,\varepsilon)$-分離集合および$d_n^f$のもとでの直径$\leq \varepsilon$の集合を用いて、被覆および分離の議論を適用する。
• トーラス上の軌道の構造を、力学的および位相的性質に基づきタイプ(I)、(II)、(III)の領域に区別する。
• 不変近傍および流れ不変性を用いて、特に周期軌道およびその集積点の周囲でエントロピー推定を局所化する。
• デニョイ理論および回転への共役性といった、力学系理論の結果を応用し、ゼロ多項式エントロピーを持つ系を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回転を保存する円周ホメオモルフィズムの正確な多項式エントロピーの値は何か？
• RQ2 $\mathbb{T}^2$上の$C^1$非消滅ベクトル場が、いつ多項式エントロピー1をとり、いつ0をとるか？
• RQ3 周期軌道の存在がトーラス流れの多項式エントロピーにどのように影響するか？
• RQ4 多項式エントロピーは、回転とデニョイ型ホメオモルフィズムのようなゼロ位相エントロピー系を区別できるか？

主な発見

• 回転を保存する円周ホメオモルフィズムの多項式エントロピーは、回転に共役である場合に限り0であり、それ以外の場合は1である。
• 2次元トーラス上の$C^1$非消滅ベクトル場の多項式エントロピーは、区間[0,1]に存在する。
• 関連する流れに周期軌道が存在する場合、時間1写像が回転に共役でない限り、多項式エントロピーは1である。
• 流れの多項式エントロピーは、周期軌道およびその集積集合のコンパクトな不変近傍では1以下に有界である。
• トーラス上に存在するすべての周期軌道の和集合はコンパクト集合であり、有限被覆の議論によりグローバルエントロピーを有界化できる。
• 証明は、被覆成長が制御された不変近傍を構成することに依存しており、すべての検討された場合において多項式エントロピーが1以下であることを示している。