[論文レビュー] Polynomial entropy of Brouwer homeomorphisms

Louis Hauseux, Frédéric Le Roux|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、平面の固定点を持たない向きを保つホメオモルフィズム（Brouwerホメオモルフィズム）の多項式エントロピーを計算するための新規なアプローチを提示する。系の散逸部を商空間の構成によって分析することで、多項式エントロピーが[2, ∞]の任意の実数値をとることを確立し、非整数の多項式エントロピーを有するがトポロジカルエントロピーが0で多項式エントロピーが無限大である系の最初の自然な例を提供する。

ABSTRACT

We study the polynomial entropy of the wandering part of any invertible dynamical system on a compact metric space. As an application we compute the polynomial entropy of Brouwer homeomorphisms (fixed point free orientation preserving homeomorphisms of the plane), and show in particular that it takes every real value greater or equal to 2.

研究の動機と目的

• コンパクトな距離空間上の力学系の散逸部における多項式エントロピーの一般理論を構築すること。
• Brouwerホメオモルフィズム（平面の固定点を持たない向きを保つホメオモルフィズム）の多項式エントロピーをこの理論を用いて計算すること。
• 多項式エントロピーがBrouwerホメオモルフィズムの完全な同相不変量であることを示し、非可算個の同相類を区別できることを示すこと。
• 任意の多項式エントロピー値α ∈ [2, ∞)を有するBrouwerホメオモルフィズムの明示的構成を行うこと。
• 多項式エントロピーと他の不変量（例：振動集合）との関係を探索し、高き多項式エントロピーが非空の振動集合を示唆する可能性を示すこと。

提案手法

• 非散逸点をすべて一点∞に収縮させた商空間における多項式エントロピーを、散逸多項式エントロピーとして定義する。
• X\{∞}内の有限個のコンパクト集合の族{U₁,…,Uₗ}を用いて、軌道を訪問する集合の系列により符号化し、∞は訪問間の時間間隔を表す。
• 組合せ的数え上げと写像φ_{k,k+1}の区間解析を用いて、長さnの異なる符号化の数の下界と上界を確立する。
• 積分との漸近的比較を適用して符号化集合の成長率を推定し、limsup_n→∞ log S(n,ε)/log nを経由して多項式エントロピーを導出する。
• 中谷の技法とリーマン成分を有する滑らかな流れを用いて、制御された力学を持つBrouwerホメオモルフィズムの明示的例を構成する。
• 符号化の数がn^α（α ≥ 2）のオーダーで増加することを証明し、これにより多項式エントロピーh_pol(f) = αが得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Brouwerホメオモルフィズムの多項式エントロピーの取り得る値の範囲は何か？
• RQ2 多項式エントロピーは、トポロジカルエントロピーが0である場合でも、非同相なBrouwerホメオモルフィズムを区別できるか？
• RQ3 非整数の多項式エントロピーを有するBrouwerホメオモルフィズムを構成することは可能か？
• RQ4 散逸集合の構造と遷移写像は、区別可能な軌道の成長率にどのように影響するか？
• RQ5 多項式エントロピーと他の同相不変量（例：振動集合）との関係は何か？

主な発見

• Brouwerホメオモルフィズムの多項式エントロピーが1であることは、それが平行移動に同相であることに同倣する。
• 多項式エントロピーが(1,2)の区間にあるBrouwerホメオモルフィズムは存在せず、これは可能な値にギャップがあることを示している。
• 任意の実数α ∈ [2, ∞)に対して、多項式エントロピーが正確にαに等しいBrouwerホメオモルフィズムf_αが存在する。
• 構成された例は、単一のリーマン成分と有限個の境界成分を有するC^∞の流れの時間1写像である。
• 本稿は、非整数の多項式エントロピーを有し、トポロジカルエントロピーが0だが多項式エントロピーが無限大である動的系の最初の既知の自然な例を提示する。
• 証明技法は、区間力学と遷移写像φ_{k,k+1}を用いた軌道符号化の構成に依拠しており、異なる符号化の数が漸近的にn^αのオーダーで増加することを示し、これによりh_pol(f) = αが得られることを示している。