[論文レビュー] Polynomial estimates and radius of analyticity on real Banach spaces

Marios K. Papadiamantis|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2012

Advanced Banach Space Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、実バナッハ空間上のべき級数の解析的半径に関する多項式推定と上限を確立し、一様収束半径を$\rho$とするとき、解析的半径が少なくとも$\rho/\sqrt{2}$以上であることを証明する。結果は、複素バナッハ空間への古典的推定を、特に$\ell_p$空間に対して実バナッハ空間へ拡張し、ノルム比較と多変数形式のスターリング型上限を用いる。

ABSTRACT

A generalization of Problem 73 of Mazur and Orlicz in the Scottish Book was introduced from L. Harris. The exact value of the constant that appears there is known when complex normed linear spaces are considered. In this paper, we give estimates in the case of an arbitrary real normed linear space and a real $\ell_p$ space. Moreover, if $F(x)$ is a power series, $ρ$ its radius of uniform convergence and $ρ_{\substack{A}}$ its radius of analyticity, we prove that $ρ_{\substack{A}}\geqρ/\sqrt{2}$ and give some respective results for the $n$th Fréchet derivative of $F(x)$.

研究の動機と目的

• マズールとオルリッチの問題73を、特に$\ell_p$空間に対して、複素バナッハ空間から実バナッハ空間へ一般化すること。
• 対称多変数形式のノルムをそれに関連する同次多項式で制御する定数$c(k_1,\ldots,k_n,X)$を推定すること。
• 一様収束半径$\rho$を用いて、べき級数の解析的半径$\rho_A$の下界を求める。
• 実バナッハ空間におけるべき級数のフレシェ微分の収束挙動を分析すること。

提案手法

• 対称多変数形式とその関連多項式を用いて、$|L(x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n})|$の鋭い上界を導出する。
• 多変数形式のノルム上限の導出において、確率変数のモーメントを推定するためにスターリングの近似を適用する。
• 実バナッハ空間に対して、不等式$\|L\|_{(n)} \leq \sqrt{n}\|\widehat{L}\|$を用いて、比$\|L\|_{(n)}/\|\widehat{L}\|$を上限付ける。
• 補題2.1を適用して、テイラー級数の係数の増大度と一様収束半径および解析的半径との関係を結ぶ。
• $\limsup_{m\to\infty} \|L_m\|_{(2)}^{1/m} \leq \sqrt{2}/\rho$を確立し、下界$\rho_A \geq \rho/\sqrt{2}$を導出する。
• チェーの結果をフレシェ微分に適用し、$D^nF(x)$の収束半径を導出する。$n=2$では$\rho_A \geq \rho/\sqrt{2}$、$n \geq 3$では$\rho_A \geq \rho/\sqrt{e}$が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実バナッハ空間において、$|L(x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n})| \leq c(k_1,\ldots,k_n,X)\|\widehat{L}\|$を満たす最適な定数$c(k_1,\ldots,k_n,X)$は何か？
• RQ2 実バナッハ空間におけるべき級数について、解析的半径$\rho_A$と一様収束半径$\rho$の関係は何か？
• RQ3 $D^nF(x)$の収束半径は$\rho$を用いてどのように表されるか？
• RQ4 複素変数の境界$ c(k_1,\ldots,k_n,X) = \frac{k_1!\cdots k_n!}{k_1^{k_1}\cdots k_n^{k_n}}\frac{m^m}{m!} $は、実バナッハ空間へ拡張可能か？
• RQ5 実$\ell_p$空間において、$\|L\|_{(n)}$を$\|\widehat{L}\|$で表す鋭い推定は何か？

主な発見

• 実バナッハ空間上のべき級数の解析的半径$\rho_A$は、一様収束半径を$\rho$とすると、$\rho_A \geq \rho/\sqrt{2}$を満たす。
• 第二フレシェ微分$DF(x)$のテイラー級数の一様収束半径は、少なくとも$\rho/\sqrt{2}$以上である。
• $n \geq 3$の場合、$D^nF(x)$のテイラー級数の一様収束半径は、少なくとも$\rho/\sqrt{e}$以上である。
• ノルム比$\|L\|_{(2)}/\|\widehat{L}\|$は、実バナッハ空間において$\left(\|L\|_{(2)}/\|\widehat{L}\|\right)^{1/m} \leq \sqrt{2}$を満たす。
• $n \geq 2$の場合、比$\|L\|_{(n)}/\|\widehat{L}\|$は、実バナッハ空間において$\left(\|L\|_{(n)}/\|\widehat{L}\|\right)^{1/m} \leq \sqrt{n}$を満たす。
• $\|L\|_{(n)} \leq \sqrt{n}\|\widehat{L}\|$の境界は、$m$が偶数で$k_1 = k_2 = m/2$のとき、等号が近づくという意味で鋭い。