[論文レビュー] Polynomial extensions of symmetric and reversible rings

Mohamed Louzari, L'moufadal Ben Yakoub|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2007

Rings, Modules, and Algebras参考文献 6被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、環 R が $(\sigma,\delta)$-スKEW多項式拡張 $R[x;\sigma,\delta]$ がこれらの性質を継承する場合に、R が対称的または可逆的であるための条件を確立する。$\sigma$-対称的および $\sigma$-可逆的環の概念を導入し、$(\sigma,\delta)$-スKEWアーメンダリズ条件を活用することで、著者たちは、特定の零化子条件の下で、R からそのオア拡張への対称性と可逆性の持ち上げが成立することを証明する。

ABSTRACT

Let $\sigma$ be an endomorphism and $\delta$ an $\sigma$-derivation of a ring $R$. In this paper, we show that if $R$ is $(\sigma,\delta)$-skew Armendariz and $a\sigma(b)=0$ implies $ab=0$ for $a,b\in R$. Then $R$ is symmetric (respectively, reversible) if and only if $R$ is $\sigma$-symmetric (respectively, $\sigma$-reversible) if and only if $R[x;\sigma,\delta]$ is symmetric (respectively, reversible). Moreover, we study on the relationship between the Baerness, quasi-Baerness and p.q.-Baerness of a ring $R$ and these of the Ore extension $R[x;\sigma,\delta]$. As a consequence we obtain a partial generalization of \cite{hong/2000}.

研究の動機と目的

• $(\sigma,\delta)$-スKEW多項式拡張における対称的および可逆的環の性質の保存を調査すること。
• $(\sigma,\delta)$-スKEWアーメンダリズ条件と、オア拡張への対称性／可逆性の持ち上げとの関係を明確にすること。
• R におけるベア、準ベア、および p.q.-ベア性質が $R[x;\sigma,\delta]$ におけるそれらとどのように関係するかを検討すること。
• 自己準同型と微分を伴うスKEワ多項式環の文脈で、ホンら（2000年）の結果を一般化すること。

提案手法

• 対称的および可逆的環の一般化として、$\sigma$-対称的および $\sigma$-可逆的環の概念を導入すること。
• $(\sigma,\delta)$-スKEワアーメンダリズ条件を用いて、$R[x;\sigma,\delta]$ における多項式乗法の挙動を制御すること。
• 零化子条件 $a\sigma(b) = 0$ ならば $ab = 0$ をすべての $a,b \in R$ に対して課すことにより、環の構造とスKEワ多項式の挙動を結びつけること。
• 自己準同型 $\sigma$ と $\sigma$-微分 $\delta$ を持つオア拡張としての $R[x;\sigma,\delta]$ の構造を分析すること。
• 与えられた条件下で、R が対称的（または可逆的）であることと、$R[x;\sigma,\delta]$ が対称的（または可逆的）であることの同値性を確立すること。
• 理想と零化子の構造的解析を通じて、R から $R[x;\sigma,\delta]$ へのベア型性質（ベア、準ベア、p.q.-ベア）の保存を研究すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環 R の対称性が、その $(\sigma,\delta)$-スKEワ多項式拡張 $R[x;\sigma,\delta]$ の対称性を意味するのはどのような条件下か？
• RQ2 $(\sigma,\delta)$-スKEワアーメンダリズ環の文脈において、R の可逆性が $R[x;\sigma,\delta]$ の可逆性と同値となるのはいつか？
• RQ3 R のベア、準ベア、および p.q.-ベア性質は、$R[x;\sigma,\delta]$ のそれらとどのように関係するか？
• RQ4 零化子条件 $a\sigma(b) = 0 \Rightarrow ab = 0$ が、オア拡張への対称性および可逆性の持ち上げをどの程度促進するか？

主な発見

• R が $(\sigma,\delta)$-スKEワアーメンダリズであり、$a\sigma(b) = 0 \Rightarrow ab = 0$ を満たすならば、R が対称的であることと $R[x;\sigma,\delta]$ が対称的であることとは同値である。
• 同じ条件下で、R が可逆的であることと $R[x;\sigma,\delta]$ が可逆的であることとは同値である。
• $\sigma$-対称的および $\sigma$-可逆的環の概念は、オア拡張への対称性および可逆性の持ち上げに必要な十分な条件として導入される。
• 本論文は、与えられた仮定の下で、R の $\sigma$-対称的（それぞれ $\sigma$-可逆的）性質が $R[x;\sigma,\delta]$ の対称的（それぞれ可逆的）性質と同値であることを確立する。
• 研究は、同じ零化子条件およびスKEワアーメンダリズ条件の下で、R のベア、準ベア、および p.q.-ベア性質が $R[x;\sigma,\delta]$ に保存されることを明らかにする。
• 結果は、ホンら（2000年）の先行研究を部分的に一般化しており、自己準同型と微分を伴うスKEワ多項式環の文脈へと拡張している。