[論文レビュー] Polynomial Functors of Modules

Qimh Richey Xantcha|arXiv (Cornell University)|May 2, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、二項基底環上のEilenbergおよびMacLaneの多項式函手の一般化として数値函手を導入し、FriedlanderおよびSuslinの意味での厳密多項式構造を有するための明確な基準を確立する。数値函手が次数 $ n $ であるとき、それが厳密多項式函手に拡張可能であるための必要十分条件は、それが準同調的であり、かつその加群構造が分岐冪代数 $ P_n(\overline{\mathrm{B}}^{n\times n}) $ からシュール代数 $ \Gamma^n(\mathrm{B}^{n\times n}) $ に引き上げられることである。

ABSTRACT

We introduce the notion of numerical functors to generalise Eilenberg & MacLane's polynomial functors to modules over a binomial base ring. After shewing how these functors are encoded by modules over a certain ring, we record a precise criterion for a numerical (or polynomial) functor to admit a strict polynomial structure in the sense of Friedlander & Suslin. We also provide several characterisations of analytic functors.

研究の動機と目的

• 二項基底環上のモジュールとしての多項式函手の一般化を、数値函手の概念の導入によって実現する。
• FriedlanderおよびSuslinの意味での数値函手が厳密多項式構造を有するための明確な条件を同定する。
• 解析的函手を数値函手のフィルター付き帰納的極限として特徴付ける。
• 数値函手の度数 $ n $ と、環 $ P_n(\mathbf{B}^{n\times n}) $ 上のモジュールとの間のモラータ同倣を確立する。

提案手法

• 二項環 $ \mathbf{B} $ 上の有限生成自由モジュール上の函手として数値函手を定義し、二項 $ \mathbf{B} $-代数上の自然かつ乗法的な矢印写像を用いる。
• 環 $ P_n(\mathbf{B}^{n\times n}) $ を構成し、度数 $ n $ の数値函手の圏 $ \mathpzc{N}_n $ がこの環上のモジュールの圏と同倣することを示す。
• 分岐冪写像 $ \upgamma_n: P_n(\mathbf{B}^{n\times n}) \to \Gamma^n(\mathbf{B}^{n\times n}) $ を用いて、スカラー制限を介して数値函手と厳密多項式函手を関連付ける。
• 解析的函手を、二項 $ \mathbf{B} $-代数 $ A $ ごとに定義された函手の族 $ E_A $ として定義し、スカラー拡張と可換であることを仮定し、$ A $ 上での自然かつ乗法的な矢印写像を持つ函手と同値であることを示す。
• テンソル積における二項係数の次数を解析することで、局所的に数値函手がフィルター付き帰納的極限としての数値函手であることを証明する。
• 多項式函手の定理を確立する：数値函手が厳密多項式構造を有するのは、それが準同調的であり、かつ $ F(\mathbf{B}^n) $ 上の $ P_n(\mathbf{B}^{n\times n}) $-加群構造が $ \Gamma^n(\mathbf{B}^{n\times n}) $-加群構造に拡張可能なときである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二項環 $ \mathbf{B} $ 上の度数 $ n $ の数値函手が、FriedlanderおよびSuslinの意味での厳密多項式構造を有するのはいつか？
• RQ2 度数 $ n $ の数値函手は、環 $ P_n(\mathbf{B}^{n\times n}) $ 上のモジュールとどのように関係しているか？
• RQ3 分岐冪写像を介して、数値函手の圏と厳密多項式函手の圏の間の明確な関係は何か？
• RQ4 解析的函手は、数値函手とその極限を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ5 局所的に数値函手が数値函手のフィルター付き帰納的極限であるための条件は何か？

主な発見

• 度数 $ n $ の数値函手の圏 $ \mathpzc{N}_n $ は、環 $ P_n(\mathbf{B}^{n\times n}) $ 上のモジュールの圏と同倣であり、同倣は $ F \mapsto F(\mathbf{B}^n) $ で与えられる。
• 度数 $ n $ の数値函手 $ F $ が厳密多項式構造を有するのは、それが準同調的であり、かつ $ F(\mathbf{B}^n) $ 上の $ P_n(\mathbf{B}^{n\times n}) $-加群構造が $ \Gamma^n(\mathbf{B}^{n\times n}) $-加群構造に拡張可能なときである。
• 厳密多項式函手から数値函手への忘却函手は、分岐冪写像 $ \upgamma_n: P_n(\mathbf{B}^{n\times n}) \to \Gamma^n(\mathbf{B}^{n\times n}) $ 沿いのスカラー制限に対応し、$ n = 0,1,2 $ のみで全射的かつ本質的に単射的である。
• 解析的函手は、まさに数値函手のフィルター付き帰納的極限である。
• 局所的に数値函手は、テンソル積における二項係数の次数の上限を評価することで、数値函手のフィルター付き帰納的極限であることが示された。
• 数値函手の矢印写像は、二項 $ \mathbf{B} $-代数 $ A $ 上で、$ F_A: A \otimes \mathrm{Hom}(M,N) \to A \otimes \mathrm{Hom}(F(M),F(N)) $ で与えられる乗法的かつ自然な写像に拡張可能であり、これは度数 $ n $ の数値函手を特徴付ける。