[論文レビュー] Polynomial Heisenberg algebras and Painlevé equations

David Bermúdez|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2015

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、2次および3次多項式ヘイゼンベルク代数（PHA）と、それぞれPainlevé方程式PIVおよびPVとの間の関係を、高次のPHAを2次および3次代数に写像する還元定理の証明によって確立する。PIVおよびPVの正確な解を合流超幾何関数 1F1 の形で導出し、解の階層を分類し、還元定理を通じてPIVと関連する超対称（SUSY）調和振動子のパートナーモデルに対する coherent states を構成する。

ABSTRACT

We study first the supersymmetric quantum mechanics (SUSY QM), specially the cases of the harmonic and radial oscillators. Then, we obtain a new Wronskian formula for the confluent SUSY transformation and apply the SUSY QM to the inverted oscillator. After that, we present the polynomial Heisenberg algebras (PHA). We study the general systems described by PHA: for zeroth- and first-order we obtain the harmonic and radial oscillators, respectively; for second- and third-order PHA, the potential is determined in terms of solutions to Painlevé IV and V equations ($P_{IV}$ and $P_{V}$), respectively. Later on, we review the six Painlevé equations and we study the cases of $P_{IV}$ and $P_V$. We prove a reduction theorem for $2k$th-order PHA to be reduced to second-order algebras. We also prove an analogous theorem for the $(2k+1)$th-order PHA to be reduced to third-order ones. Through these theorems we find solutions to $P_{IV}$ and $P_V$ given in terms of confluent hypergeometric functions. For some special cases, those can be classified in several solution hierarchies. In this way, we find real solutions with real parameters and complex solutions with real and complex parameters for both equations. Finally, we study the coherent states (CS) for the SUSY partners of the harmonic oscillator that are connected with $P_{IV}$, which we will call Painlevé IV coherent states. Since these systems have third-order ladder operators $l_k^\pm$, we seek first the CS as eigenstates of the annihilation operator $l_k^-$. We also define operators analogous to the displacement operator and we get CS departing from the extremal states in each subspace in which the Hilbert space is decomposed. We conclude our treatment applying a linearization process to the ladder operators in order to define a new displacement operator to obtain CS involving the entire Hilbert space.

研究の動機と目的

• 多項式ヘイゼンベルク代数（PHA）とPainlevé方程式、特にPIVおよびPVとの関係を調査すること。
• 2k次および(2k+1)次PHAをそれぞれ2次および3次代数に写像する還元定理を証明すること。
• PIVおよびPVの正確な解を合流超幾何関数 1F1 の形で導出すること。
• PIVおよびPVの特殊解を明確な解の階層に分類すること。
• 還元定理を通じてPIVと関連する調和振動子のSUSYパートナーに対するcoherent statesを構築すること。

提案手法

• SUSY量子力学における正確な解を可能にする、合流型SUSY変換のための新しいワロンスキー式を導出する。
• 反転された調和振動子ポテンシャルに超対称量子力学（SUSY QM）を適用し、PIVとの関連を確立する。
• 次数nの多項式ヘイゼンベルク代数（PHA）を定義し、n=2およびn=3の場合に、ポテンシャルがPIVおよびPVの解によって決定されることを示す。
• 還元定理を証明する：2k次PHAは2次代数に、(2k+1)次PHAは3次代数に還元可能である。
• 還元定理を用いて、PIVおよびPVの解を合流超幾何関数 1F1 の形で表現する。
• 3次ラダー演算子の固有状態を求める手法を用い、線形化された位移演算子を導入することで、調和振動子のSUSYパートナーに対するcoherent statesを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次および3次多項式ヘイゼンベルク代数は、それぞれPainlevé方程式PIVおよびPVとどのように関係づけられるか。
• RQ2 高次PHAを2次および3次代数に写像するための還元定理は何か。
• RQ3 PIVおよびPVの解は、合流超幾何関数 1F1 の形でどのように表現できるか。
• RQ4 PIVおよびPVの特殊ケースにおける明確な解の階層は何か。
• RQ5 還元定理を通じてPIVと関連する調和振動子のSUSYパートナーに対するcoherent statesは、どのように構築できるか。

主な発見

• 合流型SUSY変換のための新しいワロンスキー式が導出され、SUSY量子力学における正確な解の実現が可能になった。
• SUSY QMを反転した調和振動子ポテンシャルに適用する試みが成功し、PIVとの関連が明確にされた。
• PIVおよびPVの解が合流超幾何関数 1F1 の形で得られ、正確な解析的表現が得られた。
• 特殊ケースにおいて、PIVおよびPVの解が複数の解の階層に分類され、構造的なパターンが明らかになった。
• 3次ラダー演算子の固有状態を用い、線形化された位移演算子を導入することで、調和振動子のSUSYパートナーに対するcoherent statesが構築された。
• 還元定理により、2k次PHAが2次代数に、(2k+1)次PHAが3次代数に還元可能であることが証明され、Painlevé方程式との間の重要な構造的関係が確立された。