[論文レビュー] Polynomial Interpolation and Identity Testing from High Powers over Finite Fields

Gábor Ivanyos, Marek Karpiński+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2015

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多項式を高次の冪 $e$ に上げたものへのオラクルアクセスのみを用いて、有限体上のモニック多項式の補間と恒等式テストのための効率的な古典的および量子アルゴリズムを提示する。有効なNullstellensatz、特徴和の推定、Groverの探索を活用することで、$e \deg f > q$ の場合に、通常の方法では失敗するが、サブ指数的クエリ複雑度を達成し、顕著に改善される。ランダム化および量子アルゴリズムは、それぞれ $O(\deg f \log q)$ および $O(e^{d/2})$ のクエリで十分である。

ABSTRACT

We consider the problem of recovering (that is, interpolating) and identity testing of a "hidden" monic polynomial $f$, given an oracle access to $f(x)^e$ for $x\\in{\\mathbb F_q}$ (extension fields access is not permitted). The naive interpolation algorithm needs $O(e\\, \\mathrm{deg}\\, f)$ queries and thus requires $e\\, \\mathrm{deg}\\, f<q$. We design algorithms that are asymptotically better in certain cases; requiring only $e^{o(1)}$ queries to the oracle. In the randomized (and quantum) setting, we give a substantially better interpolation algorithm, that requires only $O(\\mathrm{deg}\\, f \\log q)$ queries. Such results have been known before only for the special case of a linear $f$, called the hidden shifted power problem. We use techniques from algebra, such as effective versions of Hilbert's Nullstellensatz, and analytic number theory, such as results on the distribution of rational functions in subgroups and character sum estimates.

研究の動機と目的

• 有限体上のモニック多項式の補間と恒等式テストの課題に、$f(x)^e$ へのオラクルアクセスのみを提供する状況で取り組む。拡大体を用いない。
• $e \deg f > q$ の場合に、標準的手法が利用可能な体の元が不足するため失敗する古典的補間の制限を克服する。
• 高次の冪へのオラクルモデル下で、多項式補間と恒等式テストのための効率的な決定的、ランダム化、量子アルゴリズムを開発する。
• 線形 $f$ に対する従来の「隠れたシフトされたべき乗問題」の結果を、任意の次数の一般モニック多項式へ拡張する。
• 複雑度の上限を $\log q$ および $\deg f$ の多項式関数として提示し、クエリ数が $e$ や $\deg f$ に対してサブ指数的となるようにする。

提案手法

• 有効なヒルベルトのNullstellensatzのバージョンを用いて、$f^e - g^e$ の消滅を $\mathbb{F}_q$ 上の代数的構造に関連付ける。
• 特徴和の推定と、部分群における有理関数の分布に関する結果を用いて、$f(x)^e = g(x)^e$ の解の数を評価する。
• Shorの量子アルゴリズム（位数の特定と離散対数）を用いて、体の元の $e$ 乗根を効率的に計算する。
• Groverの量子探索を $E^d = \{0, \ldots, e-1\}^d$ 上で行い、$f(x)^e$ の値に対する正しい離散対数タプルを特定する。
• Grover探索を古典的サンプリングに置き換えることで、古典的ランダム化アルゴリズムを実装し、$O(e^d)$ のクエリ複雑度を達成する。
• 一般化されたリーマン予想の下で、決定的根の特定と $e$ 乗単位根の構成に素数に基づく技法を用いて、非ランダム化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な補間境界に反して $e \deg f > q$ の場合に、サブ指数的クエリ複雑度で多項式補間が可能か？
• RQ2 $f(x)^e$ と $g(x)^e$ へのオラクルアクセスのみで、二つの未知のモニック多項式の恒等式テストをどのように効率的に行えるか？
• RQ3 $f$ を $\mathbb{F}_q$ 上の $f(x)^e$ から回復するための、決定的、ランダム化、量子アルゴリズムに必要な最小クエリ数は何か？
• RQ4 解析的数論と代数幾何学の技法をどの程度組み合わせて、有限体におけるブラックボックス補間問題を解けるか？
• RQ5 線形多項式（隠れたシフトされたべき乗）に対する結果を、より高い次数の任意のモニック多項式へ一般化できるか？

主な発見

• 本稿では、$O(\deg f \log q)$ のクエリで十分なランダム化アルゴリズムを提示し、通常の $O(e \deg f)$ の境界を顕著に改善する。
• Groverの探索を離散対数空間上で用いることで、$O(e^{d/2})$ のクエリ複雑度を達成する量子アルゴリズムを構築した。ここで $d = \deg f$ である。
• 恒等式テスト問題において、$O(\deg f \log q)$ のクエリで $f \sim_e g$ と $f \not\sim_e g$ を高い確率で区別できる。
• 一般化されたリーマン予想の下で、$e \leq p^\delta$ の場合、複雑度 $e^{d + c_0(d)\delta^{1/(2d-1)}}(d\log p)^{O(1)}$ の決定的アルゴリズムが導出された。
• 古典的ランダム化アルゴリズムのクエリ複雑度は $O(e^d (d\log q \log(1/\varepsilon))^{O(1)})$ であり、$\log q$ および $d$ に対して多項式的だが、$d$ に対して指数的である。
• 関数体におけるNullstellensatzの類似を用いて、多項式の有界次数に制限した「短い区間」の概念を高次拡大体 $\mathbb{F}_{p^n}$ へ適応することで、結果を拡張した。