[論文レビュー] Polynomial interpolation of modular forms for Hecke groups

Barry Brent|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$\lambda_m = 2\cos\pi/m$ であるヘッケ群 $G(\lambda_m)$ に対するモジュラー形式のフーリエ係数の多項式補間を調査する。実験的分析とデデキンドエータ関数、ハプトモジュリンへの接続を通じて、$J_m$ や他のモジュラー形式の係数が $m$ に関する多項式によって補間可能であると提唱し、その主要な結果として、これらの多項式が除数和や古典的モジュラー形式と関連していることが示される。

ABSTRACT

Extending work of J. Raleigh, we compute polynomials $P_{n,F}(x)$ associated to certain families $F = \{f_m\}_{m = 3, 4, ...}$ of modular forms for Hecke groups $G(λ_m)$ with the property that $P_{n,F}(m)$ is the $n^{th}$ coefficient in the Fourier expansion of $f_m$. We express the $P_{n,F}$ in terms of the Fourier expansions of well-known Hauptmoduln, or in terms of certain divisor-sums. By studying the complex roots of the $P_n$, we relate them to Lehmer's question about Ramanujan's tau function. We review the theory of triangle functions and Hecke's theory of modular forms in order to establish a basis for our code, some of which originates in the dissertation of J. Leo. The article is an account of numerical experiments; the only theorems in it belong to work by others that we review as described above.

研究の動機と目的

• ヘッケ群 $G(\lambda_m)$ のモジュラー形式のフーリエ係数が $m$ に関する多項式によって補間可能かどうかを調査すること。
• $J_m$（$G(\lambda_m)$ のハプトモジュリン）に関する先行研究を、正の重みの他のモジュラー形式へと拡張すること。
• 実験的接続を通じて、補間多項式とデデキンドエータ関数の変種、エイゼンスタイン級数などの既知のモジュラー対象との関係を調査すること。
• $J_m$、$\overline{J_m}$、$\Delta_m^\diamond$ の間の補間挙動における構造的差異を検討すること。
• 補間多項式の代数的構造とその根に関する予想を提示・検証すること。

提案手法

• $m=3,4,\dots$ のさまざまな値について、$J_m$ や他のモジュラー形式のフーリエ係数を実験的に計算すること。
• 符号的計算を用いて、$J_m$ のフーリエ係数 $a_n(m)$ に対して $a_n(m) = P_n(m)$ を満たす多項式 $P_n(x)$ を特定すること。
• フーリエ展開の一致を用いて、補間多項式をエイゼンスタイン級数やハプトモジュリンなどの既知のモジュラー形式と比較すること。
• 補間多項式の根を分析し、$m=3$ からの距離における指数的減衰などの理論的期待と比較すること。
• 計算ツール（Mathematica, SageMath）を用いて多項式の因数分解と恒等式の検証を行うこと。
• フーリエ展開における係数の一致を通じて、補間多項式と除数和などの算術的関数との関係を特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $J_m$ や $G(\lambda_m)$ の他のモジュラー形式のフーリエ係数が、$m$ に関する多項式の値として表現可能か。
• RQ2 補間多項式 $J_m$ と、デデキンドエータ関数やハプトモジュリンなどの古典的モジュラー対象との関係は何か。
• RQ3 $J_m$ と $\overline{J_m}$ は多項式補間を示すが、なぜ $\Delta_m^\diamond$ はそうではないのか。
• RQ4 エイゼンスタイン級数に類似する系列の補間多項式は、除数和などの既知の算術的関数に対応するか。
• RQ5 多項式の根は $m$ が増加するにつれてどのように振る舞い、その分布は漸近的にモデル化可能か。

主な発見

• $J_m$ のフーリエ係数は多項式 $P_n(m)$ によって補間可能であり、レイルリーとアキヤマの先行結果をすべての $n$ に拡張した。
• 実験的証拠により、$J_m$ の係数が古典的ハプトモジュリンおよびデデキンドエータ関数の変種のフーリエ係数と関連していることが示された。
• 重み4のモジュラー形式では、補間多項式が $E_{\gamma,2}^2$（レベル2のモジュラー形式）の係数と一致し、除数和との関連を示唆した。
• $J_m$ や関連する形式の補間多項式の根は、$m=3$ からの距離において指数的減衰を示し、対数距離のスケーリングはおおよそ $-\pi n$ または $-4n$ に近い。
• $\overline{J_m}$ と $\Delta_m^\diamond$ を補間する多項式は異なる挙動を示す：$\overline{J_m}$ は補間可能だが、$\Delta_m^\diamond$ はそうでないため、係数の成長に関する構造的差異が示された。
• 予想7では、$s_{\infty,n}$ が $\Gamma_0(2)$ の正規化された重み4の尖点形式のフーリエ展開における $q^n$ の係数であると特定し、古典的モジュラー形式との関連を確認した。