[論文レビュー] Polynomial Invariants and SAGBI Bases for Multi-screws

Deborah Crook, Peter Donelan|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2020

Polynomial and algebraic computation参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、SAGBI基底理論を用いて複数の screw に対する多項式不変量を構築し、直列ロボットアームの分類のための計算フレームワークを提供する。screw 組合せの明示的生成集合を導出し、screw 三つ組の生成集合を仮説を立て、これらの不変量を Denavit–Hartenberg パrameters と関連づけ、従来の運動学的パrameter化の代わりに数学的に厳密な代替手法を提示する。

ABSTRACT

Polynomial invariants for robot manipulators and their joints arise from the adjoint action of the Euclidean group on its Lie algebra, the space of infinitesimal twists or screws. The aim of this paper is to determine basic sets of generating polynomials for multiple screws. Techniques from the theory of SAGBI bases are introduced. As a result, a complete description is provided of the polynomial invariants for screw pairs and some results for screw triples are obtained. The invariants are shown to be related to Denavit-Hartenberg parameters.

研究の動機と目的

• ユークリッド群の随伴作用の下での複数 screw の多項式不変量を同定するための体系的で計算可能な手法を開発すること。
• 運動学的不変量を代数的に表現することで、Denavit–Hartenberg パrameters の数学的に厳密な代替手法を提供すること。
• 多項式環の部分代数に SAGBI 基底を用いることで、非再帰的群（例えばユークリッド群）への不変量理論の拡張を図ること。
• screw 不変量とピッチ、回転角、共通垂線といった古典的幾何的不変量との関係を確立すること。
• 計算的証拠と対称性解析に基づき、三 screw の不変量環の完全な生成集合を仮説すること。

提案手法

• ユークリッド群の随伴作用の下での多項式不変量環の生成集合を計算するために、SAGBI（部分代数グレブナー）基底理論を適用する。
• screw を Plücker 座標 $(\boldsymbol{\rho}, \boldsymbol{v})$ で表現し、不変量をこれらの座標に関する斉次多項式として定義する。
• screw 組合せの基本不変量として、Klein 形 $\boldsymbol{\rho}_i \boldsymbol{\rho}_j$ とキリング形式 $\boldsymbol{\rho}_i \boldsymbol{\rho}_i$ を用いる。
• screw 三つ組に対しては、$\boldsymbol{\rho}_i \boldsymbol{v}_i$、$\boldsymbol{\rho}_i \boldsymbol{v}_j + \boldsymbol{\rho}_j \boldsymbol{v}_i$、およびスカラー三重積 $[\boldsymbol{\rho}_1, \boldsymbol{\rho}_2, \boldsymbol{\rho}_3]$ などの不変量を導出する。
• 得られた不変量を Denavit–Hartenberg パrameters と比較し、$\text{cos}\theta$ と $d\text{sin}\theta$ が多項式不変量の有理関数として表現されることを示す。
• SAGBI 基底の計算的列挙を用いて候補となる生成元を同定し、三 screw 不変量の最小生成集合を仮説立てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド群作用の下での二 screw の多項式不変量環の完全かつ最小の生成集合は何か？
• RQ2 計算代数幾何学を用いて、三 screw の不変量の生成集合を体系的に同定できるか？
• RQ3 古典的 Denavit–Hartenberg パrameters と screw システムの多項式不変量の関係は何か？
• RQ4 SAGBI 基底を用いて、非再帰的群作用における不変量を計算・検証するのにどの程度有効か？
• RQ5 三 screw の仮説された不変量は代数的に独立であり、かつ完全な不変量環を生成するか？

主な発見

• SAGBI 基底技法を用いて、screw 組合せの完全な多項式不変量生成集合を明示的に決定した。その不変量は $i < j$ に対して $\boldsymbol{\rho}_i \boldsymbol{\rho}_j$、$\boldsymbol{\rho}_i \boldsymbol{v}_i$、および $\boldsymbol{\rho}_i \boldsymbol{v}_j + \boldsymbol{\rho}_j \boldsymbol{v}_i$ である。
• screw 三つ組に対しては、本稿では不変量環が、対ごとの内積 $\boldsymbol{\rho}_i \boldsymbol{\rho}_j$、自己ピッチ $\boldsymbol{\rho}_i \boldsymbol{v}_i$、対称的混合積 $\boldsymbol{\rho}_i \boldsymbol{v}_j + \boldsymbol{\rho}_j \boldsymbol{v}_i$、スカラー三重積 $[\boldsymbol{\rho}_1, \boldsymbol{\rho}_2, \boldsymbol{\rho}_3]$、および和 $[{\bf v}_1,\boldsymbol{\rho}_2,\boldsymbol{\rho}_3] + [\boldsymbol{\rho}_1,{\bf v}_2,\boldsymbol{\rho}_3] + [\boldsymbol{\rho}_1,\boldsymbol{\rho}_2,{\bf v}_3]$ によって生成されるものと仮説している。
• 不変量 $z_{123} + z_{231} + z_{312}$ は回転不変量の和として特定され、screw 三つ組系における交換子に類似した表現のトレースに相当する。
• Denavit–Hartenberg パrameters のねじり角 $\theta$ と変位 $d$ が、基本的な多項式不変量の有理関数として表現されることを示した：$\text{cos}\theta = \frac{\boldsymbol{\rho}_1 \boldsymbol{\rho}_2}{\norm{\boldsymbol{\rho}_1}\norm{\boldsymbol{\rho}_2}}$ および $d\text{sin}\theta = \frac{\boldsymbol{\rho}_1 \boldsymbol{v}_2 + \boldsymbol{\rho}_2 \boldsymbol{v}_1}{\norm{\boldsymbol{\rho}_1}\norm{\boldsymbol{\rho}_2}}$。
• 三 screw のためのオフセットパラメータ $b$ が $SE(3)$ 不変量であることが示されたが、まだ仮説された生成元の形で表現されていない。
• 本稿では、非再帰的群作用における不変量を探索するための SAGBI 基底が有効な計算ツールであることを示したが、このような群に対して一般に有限生成定理が成り立たないという点を踏まえている。