[論文レビュー] Polynomial largeness of sumsets and totally ergodic sets

Alexander Fish|ArXiv.org|Nov 20, 2007

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、自然数における完全混合（TE）集合の和集合が、正の上付度を持つ他方の集合を伴う任意の非定数整数係数多項式の値と交わることを確立する。さらに、弱混合（WM）集合—TE集合の部分クラス—に対しては、交差の下付度が1であることを証明し、エルゴディック理論的技法とヴァン・ダール・コーパット型推定を用いて、複数の多項式および複数の集合への一般化を達成する。

ABSTRACT

We prove that a sumset of a TE subset of (\N) (these sets can be viewed as "aperiodic" sets) with a set of positive upper density intersects a set of values of any polynomial with integer coefficients., i.e. for any (A \subset \N ) a TE set, for any (p(n) \in \Z[n]: °{p(n)} > 0, p(n) o_{n o \infty} \infty ) and any subset (B \subset \N ) of positive upper density we have (R_p = A+B \cap \{p(n) | n \in \N \} eq \emptyset). For (A ) a WM set (subclass of TE sets) we prove that (R_p ) has lower density 1. In addition we obtain a generalization of the latter result to the case of several polynomials and several WM sets.

研究の動機と目的

• 周期的でない集合（TE集合）が、正の付度を持つ任意の集合と和集合をとる際に、任意の非定数整数係数多項式の値と交わるかどうかを特定すること。
• 弱混合（WM）集合—TE集合の部分クラス—が、下付度1のようなより強い交差性質を示すかどうかを調査すること。
• 力学系と平均化技法を用いて、複数の多項式および複数のWM集合に対して結果を一般化すること。
• 位相的力学（エルゴディック性、弱混合）と加法的組合せ論の間の関係を、和集合内の多項式像の文脈で確立すること。

提案手法

• 自然数の部分集合の特徴的系列と、シフト写像を介したカントール空間{0,1}^ℕにおける力学系との対応関係を用いる。
• エルゴディック理論的定義（一般点、完全エルゴディック性、弱混合）を適用して、TEおよびWM集合を特徴付ける。
• ヴァン・ダール・コーパット型推定（補題5.1）を用いて、ヒルベルト空間内での列の一様分布を制御する。
• 弱混合系における重み付き平均のL²収束（補題5.2）を用いて、平均化における非一様重みを扱う。
• 特性関数および多項式シフトを含むネストされた和集合に対して、帰納法と背理法を用いる。
• WM系では、シフトされた関数の内積がL²で0に収束することを活用し、密度推定を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の上付度を持つ集合Bに対して、任意の非定数整数係数多項式p(n)の像と、任意のTE集合AがA + Bと交わるか？
• RQ2 WM集合Aに対して、和集合A + Bがp(n)の像と交わる際、下付度が1となるか？
• RQ3 結果を複数の多項式および複数のWM集合に同時に拡張可能か？
• RQ4 どのような力学的性質（例：完全エルゴディック性、弱混合）が、和集合が多項式像を避けるのを保証するか？

主な発見

• 正の先頭係数を持つ任意の非定数多項式p(n) ∈ ℤ[n]に対して、Bが正の上付度を持つ限り、任意のTE集合AはA + Bとp(n)の像と交わる。
• WM集合Aに対して、Bが正の密度を持つ限り、交差(A + B) ∩ {p(n) | n ∈ ℕ}の下付度は1である。
• 結果は、同じ次数のk+1個の多項式およびk+1個のWM集合へ一般化され、加法的系の解集合の下付度が1である。
• 証明は、特性関数および多項式シフトを含むある和集合の下からの有界性と、ヴァン・ダール・コーパットの補題による小ささ推定との矛盾に依拠する。
• 主な技術的ステップは、弱混合系では、シフトの重み付き平均がL²で0に収束することを活用し、密度制御を可能にする。
• 下付度1の結果は、Bの密度が存在して正である場合でも成り立ち、多項式像が任意の算術的等差数列に稠密である必要はない。