[論文レビュー] Polynomial mappings into a Stiefel manifold and immersions

Iwona Krzyżanowska, Zbigniew Szafraniec|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2次形式の符号を用いて、多項式写像による球面からステイフェル多様体へのホモトピー類を計算する有効な手法を提示している。また、多項式埋め込みの交差数についても同様に扱う。本稿は、多項式埋め込み $ g: S^m \to \mathbb{R}^{2m} $ に対して交差数 $ I(g) $ が $ -\Lambda(\alpha) $ に等しいことを確立しており、ここで $ \Lambda(\alpha) $ は関連する写像の次数から導かれるもので、符号を用いて計算可能である。このため、Singular などのコンピュータ代数システムによるアルゴリズム的計算が可能となる。

ABSTRACT

For a polynomial mapping from S^{n-k} to the Stiefel manifold \widetilde{V}_k(\R^{n}), where n-k is even, there is presented an effective method of expressing the corresponding element of the homotopy group π_{n-k}\widetilde{V}_k(\R^{n})\simeq\Z in terms of signatures of quadratic forms. There is also given a method of computing the intersection number for a polynomial immersion from S^m to \R^{2m}.

研究の動機と目的

• 多項式写像 $ \alpha: S^{n-k} \to \widetilde{V}_k(\mathbb{R}^n) $ のホモトピー類 $ \Lambda(\alpha) \in \mathbb{Z} $ を、$ n-k $ が偶数のとき、有効に計算する方法を開発すること。
• 多項式埋め込み $ g: M \to \mathbb{R}^{2m} $ の交差数 $ I(g) \in \mathbb{Z} $ を、2次形式の符号を用いて表現することにより、従来の構成が多項式的でないという問題を克服すること。
• 交差数 $ I(g) = -\Lambda(\alpha) $ を満たす多項式写像 $ \alpha: M \to \widetilde{V}_{m+1}(\mathbb{R}^{2m+1}) $ を構成することにより、コンピュータ代数システムによるアルゴリズム的計算を可能にすること。
• ホイットニーの交差数公式をコンパクトな代数的超曲面へ一般化し、従来の手法よりも効率的な計算代替手段を提供すること。

提案手法

• フレームベクトル $ \alpha_i(x) $ の線形結合を、$ S^{k-1} $ 上の係数を用いて定義する関連写像 $ \widetilde{\alpha}: S^{k-1} \times S^{n-k} \to \mathbb{R}^n \setminus \{0\} $ を定義し、それが $ S^{n-1} $ に写像されることを示す。
• $ \Lambda(\alpha) $ を、$ \widetilde{\alpha}/|\widetilde{\alpha}| $ の位相的次数 $ \deg(\widetilde{\alpha}/|\widetilde{\alpha}|) $ として表現する。この次数はホモトピーおよび正規直交ステイフェル多様体への再び写像に対して不変である。
• コンパクトな代数的超曲面 $ M \subset \mathbb{R}^{m+1} $ から、$ \alpha: M \to \widetilde{V}_{m+1}(\mathbb{R}^{2m+1}) $ という多項式写像を、チューブ型近傍と関数 $ f $ を用いた摂動により構成する。ここで $ M = f^{-1}(0) $ である。
• 切除定理と関連写像のホモトピー $ h_t $ を用いて、$ \deg(\widetilde{\alpha}|S^m \times M) $ を $ -2I(g) $ に結びつける。これにより $ I(g) = -\Lambda(\alpha) $ が得られる。
• $ \deg(H \circ \phi, B^{m+2}(r) \times M, 0) $ を座標変換と線形近似により計算し、偏導関数と座標関数の積の和に還元する。
• 2次形式の符号を用いて $ \Lambda(\alpha) $ を計算する。これは定理 3.9 の結果を活用し、Singular などのコンピュータ代数システムでの実装を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式写像 $ \alpha: S^{n-k} \to \widetilde{V}_k(\mathbb{R}^n) $ のホモトピー類 $ \Lambda(\alpha) \in \mathbb{Z} $ を、$ n-k $ が偶数のとき、どのように効果的に計算できるか？
• RQ2 多項式埋め込み $ g: M \to \mathbb{R}^{2m} $ の交差数 $ I(g) \in \mathbb{Z} $ を、2次形式の符号を用いて表現できるか？
• RQ3 標準的構成 $ \alpha' $ が多項式でない場合でも、$ I(g) = -\Lambda(\alpha) $ を満たす多項式写像 $ \alpha: M \to \widetilde{V}_{m+1}(\mathbb{R}^{2m+1}) $ を構成することは可能か？
• RQ4 本手法は、ホイットニーの元来定義に基づく既存手法と比較して、計算効率がどの程度優れているか？

主な発見

• 多項式埋め込み $ g: S^2(10) \to \mathbb{R}^4 $ の交差数 $ I(g) $ は $ 5 $ として計算され、Singular を用いた検証により、本手法の有効性が確認された。
• $ \deg(\widetilde{\alpha}|S^m \times M) $ は $ -2I(g) $ に等しく、したがって $ I(g) = -\Lambda(\alpha) $ が成り立つ。これにより、埋め込みの不変量とホモトピー類の間の直接的な関連が確立された。
• $ \Lambda(\alpha) $ の値は、埋め込みのヤコビアンから導かれる2次形式の符号に等しく、コンピュータ代数システムによる計算が可能である。
• 本手法は、球面に限らず、コンパクトな代数的超曲面 $ M \subset \mathbb{R}^{m+1} $ に対しても一般化可能であり、適用範囲が広がった。
• 計算実験により、従来のホイットニー定義に基づく手法よりも、本手法は著しく効果的であることが確認された。
• 多項式写像としての $ \alpha $ の構成により、記号計算との整合性が保たれ、$ I(g) $ の自動評価が可能になった。