[論文レビュー] Polynomial Mappings mod p^n

David L. desJardins, Michael E. Zieve|ArXiv.org|Mar 7, 2001

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、奇素数のべき $p^n$ を法とする多項式写像のサイクル構造を分析するフレームワークを構築する。テイラー展開とリフト技術を用い、$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z}$ へのサイクルの進化を分類する。主な貢献は、導関数とずれを $p$ を法として用いた、サイクルのリフト行動（成長、分裂、テイル成長、部分的分裂）の完全分類であり、これによりサイクル長の高速計算や、所望のダイナミクスを持つ多項式の構成が可能になる。

ABSTRACT

Let f(x) be a polynomial with integer coefficients, let n be a positive integer, and let p be an odd prime. Then the mapping x-->f(x) sends Z/p^n into Z/p^n. We study the topological structure of this mapping.

研究の動機と目的

• 奇素数 $p$ と正の整数 $n$ に対して、$f: \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ である多項式写像の位相的構造を理解すること。
• サイクル $f_n$ が $f_{n+1}$ にどのようにリフトされるかを特定すること、特にサイクルが成長、分裂、またはテイルを発生させる条件を同定すること。
• 多項式 $f$ が与えられたとき、すべての $n$ に対して $f_n$ のサイクル長を効率的に計算するためのアルゴリズムを提供すること、また、$p^n$ を法とする指定されたサイクル構造を持つ多項式の構成を可能にすること。
• 関連するサイクル上で $g$ が $p$ と互いに素であるという条件下で、有理関数 $h = f/g$ に結果を拡張すること。これには、$p^{2n}$ を法として一貫性を持つ多項式近似を構築する。

提案手法

• サイクル点 $x_1$ の周りにおける $k$ 回反復 $g = f^k$ のテイラー展開を用い、$g(x_1 + p^n t) \equiv x_1 + p^n b_n + p^n a_n t \pmod{p^{2n}}$ を導出する。ここで $a_n = g'(x_1)$ かつ $b_n = (g(x_1) - x_1)/p^n$ である。
• 写像 $\Phi: \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を $\Phi(t) = b_n + a_n t$ で定義し、これはサイクルのリフトにおける $f_{n+1}$ の作用をモデル化し、線形ダイナミクスを明らかにする。
• $a_n \mod p$ および $b_n \mod p$ に基づいてサイクルリフト行動を分類する：$a_n \equiv 1$ かつ $b_n \not\equiv 0$ ならばサイクルは長さ $pk$ に成長する。$a_n \equiv 1$ かつ $b_n \equiv 0$ ならば、$p$ 個の長さ $k$ の互いに素なサイクルに分裂する。$a_n \equiv 0$ ならば、テイルが成長する。それ以外の場合は部分的分裂を示す。
• 代表元やサイクルの選択にかかわらず、$a_n$ と $b_n$ が $p$ を法として一意に定義可能であることに着目し、リフト行動が異なる代表元に対しても不変であることを保証する。
• 有理関数 $h = f/g$ に拡張するため、$g(x) \not\equiv 0 \pmod{p}$ のとき、$h$ と $p^{2n}$ を法として一致する多項式列 $h_n = f \cdot g^{\phi(p^{2n})-1}$ を構築し、$a_i$ と $b_i$ のレベル間での整合性を保証する。
• $a_i$ と $b_i$ の $n$ を通じた整合性を活用し、$h$ のサイクルリフト行動が近似多項式 $h_n$ と同じであることを示し、結果を有理関数へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式写像 $f: \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ のサイクルは、$\mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z}$ にどのようにリフトされるか？
• RQ2 導関数 $f^{(k)\prime}(x_1)$ とずれ $(f^k(x_1) - x_1)/p^n$ が、サイクルが $\mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z}$ にリフトされる際に成長、分裂、またはテイルを発生させる条件は何か？
• RQ3 $f_n$ のサイクル構造をすべての $n$ に対して効率的に計算できるか？また、$p^n$ を法とする所望のサイクル構造を持つ多項式を構成するためのアルゴリズムは存在するか？
• RQ4 多項式に対する結果は、サイクル上での $g$ が $p$ と互いに素である有理関数 $f/g$ にどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 $p$-進構造は、$p^n$ を法とする反復多項式写像の挙動を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• サイクルリフトは、$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上の線形写像 $\Phi(t) = b_n + a_n t$ によって支配され、ここで $a_n = g'(x_1)$ かつ $b_n = (g(x_1) - x_1)/p^n$ であり、$g = f^k$ である。これにより、リフト行動の完全な分類が可能になる。
• $a_n \equiv 1 \pmod{p}$ かつ $b_n \not\equiv 0 \pmod{p}$ ならば、サイクルは長さ $pk$ に成長する。これを「サイクルの成長」と呼ぶ。
• $a_n \equiv 1 \pmod{p}$ かつ $b_n \equiv 0 \pmod{p}$ ならば、サイクルは $p$ 個の長さ $k$ の互いに素なサイクルに分裂する。これを「分裂」と呼ぶ。
• $a_n \equiv 0 \pmod{p}$ ならば、サイクルはテイルを成長させる：1つの $k$-サイクルと、残りの $p-1$ 個の点が $k$ 回の反復後にそのサイクルに到達する。
• $a_n \not\equiv 0,1 \pmod{p}$ ならば、サイクルは部分的分裂を示す：1つの $k$-サイクルと、$(p-1)/d$ 個の長さ $kd$ のサイクルが存在する。ここで $d$ は $a_n$ の $p$ を法とする乗法的位数である。
• 有理関数 $h = f/g$ に対しても、$p \nmid g(x)$ であるサイクル上で、$p^{2n}$ を法として一貫性を持つ多項式近似 $h_n$ を構築することで、結果が拡張可能であり、同じリフト行動が成り立つ。