[論文レビュー] Polynomial Optimization with Real Varieties

Jiawang Nie|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、実代数的多様体 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ が有限である場合に、ラッセールの階層が有限収束することを確立する。これは、複素多様体 $ V_{\mathbb{C}}(h) $ が無限であっても成り立つ。さらに、有限収束が実多様体の多項式表現に依存しないこと、および、実行可能集合が有限である場合に、制約の正順序に基づく改良された階層に拡張できることを示す。

ABSTRACT

We consider the optimization problem of minimizing a polynomial f(x) subject to polynomial constraints h(x)=0, g(x)>=0. Lasserre's hierarchy is a sequence of sum of squares relaxations for finding the global minimum. Let K be the feasible set. We prove the following results: i) If the real variety V_R(h) is finite, then Lasserre's hierarchy has finite convergence, no matter the complex variety V_C(h) is finite or not. This solves an open question in Laurent's survey. ii) If K and V_R(h) have the same vanishing ideal, then the finite convergence of Lasserre's hierarchy is independent of the choice of defining polynomials for the real variety V_R(h). iii) When K is finite, a refined version of Lasserre's hierarchy (using the preordering of g) has finite convergence.

研究の動機と目的

• 実多様体 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ が有限であるが複素多様体 $ V_{\mathbb{C}}(h) $ が無限である場合に、ラッセールの階層が有限収束を示すかどうかという未解決問題を解消すること。
• 実多様体 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ の定義多項式の選択に依存しない、ラッセールの階層の有限収束を示すこと。ただし、$ K $ と $ V_{\mathbb{R}}(h) $ が同じ消えるイデアルを持つものとする。
• 制約 $ g $ の正順序に基づく改良された階層を構築・分析し、実行可能集合 $ K $ が有限である場合に有限収束を示すこと。
• 特に有限実解集合をもつ場合に、多項式最適化における二乗和緩和の有限収束の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• truncated 理想 $ \langle h \rangle_{2k} $ と二次モジュール $ Q_k(g) $ を用いたラッセールの二乗和（SOS）緩和階層を定義し、モーメント行列と局所化行列を含む双対半定値計画問題を用いる。
• Positivstellensatz 定理とフラット・トリンケーション基準を用いて有限収束を分析し、特に $ K $ が有限である場合に補間多項式の存在を活用する。
• 制約 $ g_j $ のすべての積を含む正順序 $ Pr_k(g) $ を用いた改良された SOS 缽和を導入し、緩和を強化し、$ K $ が有限である場合に有限収束を保証する。
• パラメータ $ \epsilon $ を用いた摂動論法（補題 2.1）を用い、分解 $ f - (f_{\min} - \epsilon) = \sigma_\epsilon + \phi_\epsilon $ を構築する。ここで $ \sigma_\epsilon \in Pr_N(g) $ かつ $ \phi_\epsilon \in \langle h \rangle_{2N} $ であり、これにより有限収束を証明する。
• アーキメデス条件とプティナールの Positivstellensatz を用いて漸近的収束を保証し、実代数的多様体の構造を活用して有限収束の結果を導出する。
• 有限集合 $ K $ のすべての点を除きゼロとなる補間多項式 $ \varphi_i $ を用い、$ f - f_{\min} $ を $ K $ 上の二乗和として表現する SOS 多項式 $ a $ を構成することで、有限収束を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実多様体 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ が有限であるが複素多様体 $ V_{\mathbb{C}}(h) $ が無限である場合に、ラッセールの階層は有限収束を示すか？
• RQ2 実多様体 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ の定義多項式の選択に依存しない、ラッセールの階層の有限収束が成り立つか、ただし $ K $ と $ V_{\mathbb{R}}(h) $ が同じ消えるイデアルを持つものとする。
• RQ3 制約 $ g $ の正順序に基づくより強い SOS 缽和が、実行可能集合 $ K $ が有限である場合に有限収束を達成できるか？
• RQ4 序列 $ \{f_k^{\text{pre}}\} $ の正順序に基づく緩和が、有限にグローバル最小値に収束するための条件は何か？
• RQ5 正順序に基づく階層の双対問題の有限収束が、元の緩和列に拡張可能か？

主な発見

• 実多様体 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ が有限であっても、複素多様体 $ V_{\mathbb{C}}(h) $ が無限であっても、ラッセールの階層は有限収束する。これは、ラウレンのサーベイにおける未解決問題を解決する。
• 実多様体 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ の定義多項式の選択に依存しない、ラッセールの階層の有限収束が成り立つ。ただし、$ K $ と $ V_{\mathbb{R}}(h) $ が同じ消えるイデアルを持つものとする。
• $ K $ が有限である場合、正順序に基づく階層 $ \{f_k^{\text{pre}}\} $ は $ f_{\min} $ に有限収束する。一方、標準的階層 $ \{f_k\} $ はそのような収束を示さないことがある。
• $ K $ が有限であるとき、ある整数 $ N $ が存在し、すべての $ k \geq N $ に対して $ f_k^{\text{pre}} = f_{\min} $ が成り立つ。これは摂動論法と正順序・理想成分への分解により示される。
• 証明では、分解 $ f - (f_{\min} - \epsilon) = \sigma_\epsilon + \phi_\epsilon $ を構築し、$ \sigma_\epsilon \in Pr_N(g) $ かつ $ \phi_\epsilon \in \langle h \rangle_{2N} $ となるようにする。これにより、$ k \geq N $ で有限収束が保証される。
• 例として $ K = \{(0,0)\} $ を取り上げ、$ k \geq 6 $ で $ f_k^{\text{pre}} = 0 $ となることが示され、実際の有限収束が確認された。