[論文レビュー] Polynomial Path Orders: A Maximal Model

Martin Avanzini, Georg Moser|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2012

Logic, programming, and type systems参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、項書き換え系（TRSs）の自動的多項式実行時計算量解析のための構文的手法として、多項式パス順序POP*を導入する。予測的再帰原理を組み込んだ多重集合パス順序の拡張として、POP*は適合するTRSsの内部的実行時計算量が多項式的に有界であることを保証し、正確に多項式時間計算可能関数を特徴づける。この手法はTCTツールに実装されており、理論的保証を維持しながらも、意味的手法を上回る速度性能を発揮する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the automated complexity analysis of term rewrite systems (TRSs for short) and the ramification of these in implicit computational complexity theory (ICC for short). We introduce a novel path order with multiset status, the polynomial path order POP*. Essentially relying on the principle of predicative recursion as proposed by Bellantoni and Cook, its distinct feature is the tight control of resources on compatible TRSs: The (innermost) runtime complexity of compatible TRSs is polynomially bounded. We have implemented the technique, as underpinned by our experimental evidence our approach to the automated runtime complexity analysis is not only feasible, but compared to existing methods incredibly fast. As an application in the context of ICC we provide an order-theoretic characterisation of the polytime computable functions. To be precise, the polytime computable functions are exactly the functions computable by an orthogonal constructor TRS compatible with POP*.

研究の動機と目的

• 項書き換え系（TRSs）の自動的多項式実行時計算量解析のための構文的手法を開発すること。
• TRSに基づく順序理論的枠組みを用いて、多項式時間計算可能関数を特徴づけること。
• 既存の意味的技法の非効率性を克服するために、軽量で高速な構文的代替手法を導入すること。
• 導出複雑性を多項式時間内でタイトに束縛する、多項式複雑性の最大モデルを提供すること。

提案手法

• 多重集合パス順序（MPO）の構文的制限として、多項式パス順序POP*を提案。予測的再帰の原則を統合する。
• 通常および安全の2種類の引数構造を導入し、BellantoniとCookの予測的再帰をモデル化。データ層を分離する。
• 多重集合ステータスを有するパス順序を用いて導出長を制御し、多項式的有界な実行時計算量複雑性を保証する。
• パラメータの代入を考慮するため、POP*をPOP*PSに拡張。表現力を高めつつも多項式バウンドを維持する。
• Tyrolean Complexity Tool（TCT）にこの手法を実装。より高コストな意味的手法の前処理として統合。
• テストベッドを用いた実験的評価により、POP*を行列解釈および多項式解釈と比較。実行速度と成功確率を測定。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構文的手法を用いて、項書き換え系における多項式実行時計算量バウンドを保証できるか。
• RQ2 多項式パス順序POP*は、暗黙的計算複雑性理論における多項式時間計算可能関数のクラスとどのように関係するか。
• RQ3 効率性とスケーラビリティの観点から、POP*は既存の意味的技法をどの程度上回るか。
• RQ4 パラメータ代入を伴うPOP*PS拡張は、表現力を高めつつも多項式複雑性を保持できるか。
• RQ5 完全な意味的解析と比較して、POP*は複雑性解析パイプラインにおける前処理ステップとしてどの程度有効か。

主な発見

• POP*は、適合するTRSsの内部的実行時計算量が多項式的に有界であることを保証し、多項式時間計算可能関数をタイトに特徴づける。
• POP*PS拡張により順序の表現力が向上し、POP*やLMPOがカバーできない13の追加例を処理可能となった。
• テストベッドTCにおいて、POP*PSの平均実行時間は0.19秒であり、並列実行された多項式解釈および行列解釈（2.77秒）を上回った。
• 解釈手法が失敗した93％のケースで、POP*PSは成功した。これは、高速な前処理としての有効性を示している。
• TCTツールにおいてPOP*PSを前処理として使用した結果、全体の解析時間が顕著に短縮された。解釈ベース解析では186件のタイムアウトが発生したが、POP*PSではゼロであった。
• 実験的結果から、POP*PSは並列解釈手法の平均14倍の高速性を示し、効率的な前処理ステップとしての役割を裏付けた。