[論文レビュー] Polynomial phase estimation by phase unwrapping

Robby G. McKilliam, Barry G. Quinn+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2012

Synthetic Aperture Radar (SAR) Applications and Techniques参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多項式位相信号のための最小二乗アンラップ（LSU）推定器を提案する。この推定器は、ノイズを含む位相データを最小二乗法でアンラップし、多項式係数を推定する。主な貢献は、一般のノイズ仮定のもとで、LSU推定器が強収束性および漸近正規性を示すことを証明したことである。係数推定値は、k番目の係数に対して o(N^{-k}) のレートで収束する。

ABSTRACT

Estimating the coefficients of a noisy polynomial phase signal is important in fields including radar, biology and radio communications. One approach attempts to perform polynomial regression on the phase of the signal. This is complicated by the fact that the phase is wrapped modulo 2πand must be unwrapped before regression can be performed. In this paper we consider an estimator that performs phase unwrapping in a least squares manner. We describe the asymptotic properties of this estimator, showing that it is strongly consistent and asymptotically normally distributed.

研究の動機と目的

• ノイズのある信号における多項式位相係数の統計的に頑健な推定器の開発。特に位相が 2π を法としてラップされている状況を想定。
• 多項式位相信号推定における位相ラップの課題に取り組み、ラップされた位相データへの直接回帰が困難であることを明らかにする。
• 最小二乗アンラップ（LSU）推定器の漸近的統計的性質、特に一貫性および正規性の確立。
• より広いクラスのノイズ分布を許容するように先行研究を一般化し、k番目の係数に対して o(N^{-k}) の収束レートを証明。
• レーダー、ソナー、医療画像処理などの応用を支援する、多項式位相推定における位相アンラップの理論的基盤を提供。

提案手法

• LSU推定器は、ラップされた位相観測値上で最小二乗目的関数を最小化することで位相アンラップを実行する。
• この手法は、最近傍点格子射影を用いてラップされた位相をアンラップ形式に変換し、アンラップされた位相に対する回帰を可能にする。
• 推定器は微分不能な目的関数の最小化者として定義され、経験過程理論および超平面配置解析の高度な道具を要する。
• 理論的解析では、集合 {1, ..., N} 内の等差数列に関する結果を用いて、収束証明における誤差項を制御する。
• 強収束性は、有界領域内の有限点集合を用いた被覆論法により確立され、超平面配置を活用してパラメータ推定値間の距離をバインドする。
• 漸近正規性は、経験過程技法と、真のパラメータ近傍における目的関数の振る舞いに関する結果を用いて証明されるが、微分不能性のため困難である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相アンラップに対する最小二乗アプローチは、多項式位相係数の推定において一貫性および漸近正規性を持つ推定器をもたらすか？
• RQ2 LSU推定器下でのk番目の多項式位相係数推定値の収束レートは何か？
• RQ3 ガウス分布以外の一般のノイズ分布下で、この推定器はどのように性能を示すか？
• RQ4 強収束性および漸近正規性の観点から、LSU推定器に対する理論的保証は何か？
• RQ5 目的関数の微分不能性は、経験過程および幾何的技法を用いて克服可能か？ これにより漸近的性質が導かれるか？

主な発見

• LSU推定器は強収束性を示し、サンプル数 N が増加するにつれて、真の多項式位相係数にほとんど確実に収束する。
• 推定器は漸近的に正規分布に従うため、係数の信頼区間や仮説検定の構築が可能である。
• k番目の係数推定値は、位相データの非線形性およびラップ性にもかかわらず、真の値へ o(N^{-k}) のレートで収束する。
• 漸近正規性の証明には、目的関数の微分不能性のため、経験過程理論および超平面配置幾何学の高度な道具が不可欠である。
• 収束レート o(N^{-k}) は多項式回帰と整合的であるが、ラップされた位相設定下での有効性は自明ではなく、算術級数に関する新しい組合せ的議論を要する。
• モンテカルロシミュレーションにより、LSU推定器の良好な統計的性能が確認され、理論的漸近予測と整合的である。