[論文レビュー] Polynomial Preconditioned Arnoldi

Mark Embree, Jennifer Loe+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2018

Matrix Theory and Algorithms参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、GMRESが生成する多項式を用いて固有値スペクトルをシフトすることで、高次多項式近似を高次元のKrylov部分空間を増加させることなく効率的に使用できるようにする多項式前処理付きアーノルド法を導入する。この手法により、特に並列計算において通信コストの高い内積計算を大幅に削減できる。安定性を高めるために二重多項式前処理や根の重複技術を用いることで収束性を維持する。

ABSTRACT

Polynomial preconditioning can improve the convergence of the Arnoldi method for computing eigenvalues. Such preconditioning significantly reduces the cost of orthogonalization; for difficult problems, it can also reduce the number of matrix-vector products. Parallel computations can particularly benefit from the reduction of communication-intensive operations. The GMRES algorithm provides a simple and effective way of generating the preconditioning polynomial. For some problems high degree polynomials are especially effective, but they can lead to stability problems that must be mitigated. A two-level "double polynomial preconditioning" strategy provides an effective way to generate high-degree preconditioners.

研究の動機と目的

• 大規模で困難な固有値問題に対する標準的アーノルド法の収束が遅い問題に対処する。
• 行列の逆行列を回避する移動固有値変換の実用的で低コストな代替手法を開発する。
• 行列ベクトル積を内積に代えることで、並列計算における通信コストと直交化コストを低減する。
• 高次多項式を前処理に使用する場合の数値的安定性を保証する。
• 高度な前処理戦略を用いて内部固有値を効率的に計算可能にする。

提案手法

• GMRESの最小残差多項式から導かれる多項式前処理子 $\pi$ を用いて $\pi(A)$ にアーノルド法を適用する。
• GMRESアルゴリズムを用いて、$A$ の望ましい固有値を $\pi(A)$ の大きな固有値に写像する多項式 $\pi$ を生成し、収束性を向上させる。
• 形式 $\mathcal{K}_m(\pi(A), v)$ のKrylov部分空間を構築する。これは高次Krylov空間 $\mathcal{K}_{d(m-1)+1}(A,v)$ の部分空間であり、低次元で高精度な近似が可能である。
• 二重多項式前処理として、$\tau(A) = 1 - \pi_1(A)$ に第二のGMRES多項式 $\pi_2$ を適用し、次数 $d_1 d_2$ の合成多項式を構成することで、高次近似を高次元の部分空間を増加させずに実現する。
• 特に固有値がうまく分離されていない場合に、前処理多項式に重複する根を追加することで手法を安定化させる。
• MaxPofテストを用いて不安定性を検出し、収束性の回復を図る根の重複をガイドする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GMRESが生成する多項式による多項式前処理は、アーノルド法に基づく固有値計算における行列ベクトル積と内積の回数を顕著に削減できるか？
• RQ2 Krylov部分空間の次元や直交化コストを増加させずに、高次多項式近似を固有値問題に効果的に適用するにはどうすればよいか？
• RQ3 固有値がうまく分離されていない、または高次多項式が数値的不安定性を引き起こす場合に、多項式前処理を安定化するにはどのような戦略が有効か？
• RQ4 二重多項式前処理により、非常に高次な多項式を効率的に使用できるか？また、計算コストと収束性の観点から単一前処理と比較してどう異なるか？
• RQ5 GMRESの初期ベクトルの選択とその減衰係数は、望ましい固有値を捉える多項式前処理の効果にどのように影響するか？

主な発見

• 対流拡散問題において、次数 $25 \times 40 = 1000$ の二重多項式前処理により、内積回数を 52,312 から 321.0 にまで削減した。単一前処理と比較して10倍の削減効果を示した。
• 次数 $d_1 = 15$, $d_2 = 20$ の場合、二重前処理では1アーノルドサイクルあたり2.1回の内積で収束したが、単一前処理では9.9回であった。
• 20,000付近に問題のある固有値を有する行列に対して、$d_1 = 5$ の単一多項式前処理では $\pi_2(\tau(A))$ に著しい固有値が残存し収束しなかったが、二重根の追加により2サイクルで収束した。
• 二重多項式前処理により、アーノルド(50,20)が1サイクルで収束し、合成次数1000の高次近似が可能であることを示した。これは高次近似に対するスケーラビリティを示している。
• MaxPofテストは、前処理子の不安定性を的確に検出し、収束性回復を図る根の重複を効果的にガイドした。
• 通信コストを顕著に削減した。これは、高価な内積計算を安価な行列ベクトル積に置き換えることで達成された。これは高性能計算において極めて重要である。