[論文レビュー] Polynomial pseudomonads and dependent type theory

Steve Awodey, Clive Newstead|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、自然なモデルがユニット型および従属和型をサポートする場合、それらが多項式偽モノイドに対応すること、さらに従属積型もサポートする場合にはそれらがそのような偽モノイド上の多項式偽代数に対応することを示すことにより、従属型理論の圏論的基盤を確立する。主な貢献は、局所的にカルテジアン閉圏における高次元の圏的構造を通じて、型理論的コンストラクタの正確な代数的特徴付けがなされたことである。

ABSTRACT

We assemble polynomials in a locally cartesian closed category into a tricategory, allowing us to define the notion of a polynomial pseudomonad and polynomial pseudoalgebra. Working in the context of natural models of type theory, we prove that dependent type theories admitting a unit type and dependent sum types give rise to polynomial pseudomonads, and that those admitting dependent product types give rise to polynomial pseudoalgebras.

研究の動機と目的

• 高次元圏論を用いて従属型理論の代数的構造を形式化すること。
• 型理論的コンストラクタ（ユニット、従属和、従属積）と圏的構造（偽モノイド、偽代数）の間のギャップを埋めること。
• 型理論的演算の整合性法則を理解するための統一的な圏論的枠組みを提供すること。
• 適切な型理論的仮定の下で、自然な型理論のモデルが自然に多項式偽モノイドおよび偽代数を生じることを確立すること。

提案手法

• 局所的にカルテジアン閉圏における多項式の三圏を構成し、多項式偽モノイドおよび偽代数の定義を可能にする。
• 圏の内部言語を用いて、多項式ファンクターを型の族上の従属和および従属積として記述する。
• スライス圏における随伴三重 $\Sigma_f \dashv \Delta_f \dashv \Pi_f$ を活用し、引き戻しと随伴ファンクターを用いて多項式合成を定義する。
• 型理論的構造をモデル化するための多項式のカルテジアン射を導入し、整合性同型を符号化する調整を加える。
• 理論を型理論の自然なモデルに適用し、型コンストラクタが多項式の特定の射に対応することを示す。
• そのような射の存在（一意な調整を伴う）が、対応する型理論的型の存在と同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして高次元圏的構造を用いて従属型理論を代数的に特徴付けられるか？
• RQ2 自然モデルにおいてユニット型および従属和型が存在する場合、それに対応する圏的構造は何か？
• RQ3 従属積型は高次圏的設定において代数的法則とどのように関係するか？
• RQ4 型理論的コンストラクタの整合性条件は、偽モノイドまたは偽代数構造における調整を介して捉えられるか？
• RQ5 型同型と多項式偽モノイドおよび偽代数の式との間の正確な対応関係は何か？

主な発見

• ユニット型および従属和型をサポートする自然なモデルであるための必要十分条件は、その型族が多項式偽モノイド構造を備えていることである。
• さらに従属積型をサポートする自然なモデルであるための必要十分条件は、その型族が関連する多項式偽モノイド上の多項式偽代数構造を備えていることである。
• 偽モノイドおよび偽代数構造における整合性同型は、従属和および積の結合性や単位的性といった、従属型理論における標準的な型同型に正確に対応する。
• 偽モノイドおよび偽代数構造における調整は、多項式のカルテジアン射によって一意に決定され、追加のデータなしに整合性が保証される。
• この構成は、型生成子が多項式ファンクターによって支配される代数的演算として解釈される、従属型理論の完全な圏的意味論を提供する。
• 結果として、モノイドの代数的法則と型理論的同型の間の正確な双対性が確立され、型理論と圏論の間の深い構造的関係が明らかになる。