[論文レビュー] Polynomial scaling of QAOA for ground-state preparation of the fully-connected p-spin ferromagnet

Matteo M. Wauters, Glen Bigan Mbeng+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）が、p ≥ 3 の場合に量子アニーリングが指数的かつ小さなギャップによって妨げられる完全結合 p-spin フェルミオン磁性体の基底状態を多項式的リソースで準備できることを示している。QAOAのパラメータ数 P が臨界閾値 P* ∝ N を超えると、パラメータ空間が単純化され、広範なパラメータスケーリングと多項式的リソースコストで完全な基底状態の忠実度が達成可能になる。

ABSTRACT

We show that the quantum approximate optimization algorithm (QAOA) can construct with polynomially scaling resources the ground state of the fully-connected p-spin Ising ferromagnet, a problem that notoriously poses severe difficulties to a Quantum Annealing (QA) approach, due to the exponentially small gaps encountered at first-order phase transition for ${\ m p} \\ge 3$. For a target ground state at arbitrary transverse field, we find that an appropriate QAOA parameter initialization is necessary to achieve a good performance of the algorithm when the number of variational parameters $2{\ m P}$ is much smaller than the system size ${\ m N}$, because of the large number of sub-optimal local minima. Instead, when ${\ m P}$ exceeds a critical value ${\ m P}^*_{\ m N} \\propto {\ m N}$, the structure of the parameter space simplifies, as all minima become degenerate. This allows to achieve the ground state with perfect fidelity with a number of parameters scaling extensively with ${\ m N}$, and with resources scaling polynomially with ${\ m N}$.

研究の動機と目的

• 完全結合 p-spin フェルミオン磁性体の基底状態準備の挑戦に取り組む。このモデルは、p ≥ 3 の場合に第一級相転移に伴い指数的かつ小さなギャップが生じるため、量子アニーリングに失敗する。
• 量子アディアバティックな遷移におけるその困難さが知られているにもかかわらず、QAOAがこのモデルの基底状態を効率的に準備できるかどうかを調査する。
• QAOAのパラメータ空間の構造を分析し、高忠実度の基底状態準備が可能になる条件を同定する。
• 特に P ≪ N および P ≳ N の領域において、成功した基底状態準備に必要なリソースとパラメータのスケーリングを特定する。
• 変分パラメータ数が広範でない場合に、良好な性能を達成するための適切なパラメータ初期化の必要性を確立する。

提案手法

• 初期状態としてすべてのスピンが x 方向に整列した積状態を使用し、横磁場（Hx）と p-spin ハミルトニアン（Hz）によって生成される交互に作用するユニタリ操作を用いた QAOA フレームワークを採用する。
• 変分パラメータ γ と β を用いて QAOA の時間発展をパrameter化し、古典的最適化によりエネルギー期待値を最小化することを目的とする。
• QAOA エネルギーのランドスケープの対称性特性を分析し、(γ, β) → (−γ, −β)、β → β + π、および N や p に応じて γ → γ + π または γ + π/2^p−1 の不変性を含む。
• QAOA レイヤー数 P の臨界閾値を特定し、P* ∝ N がパラメータ空間構造の転移を示す。
• P > P* のとき、エネルギーのランドスケープが単純化され、すべての局所的最小値が縮退するため、完全な基底状態忠実度が可能になる。
• 解析的および数値的手法を用いてエネルギーのランドスケープと忠実度のスケーリングを研究し、特に P ≪ N の場合における初期パラメータ選択の役割に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アニーリングが指数的ギャップのため失敗する完全結合 p-spin フェルミオン磁性体の基底状態を、QAOAが多項式的時間で効率的に準備できるか？
• RQ2 変分パラメータ数 P が系サイズ N よりもはるかに小さい場合、QAOA の性能に初期化が果たす役割は何か？
• RQ3 P が増加するにつれて QAOA パラメータ空間の構造はどのように変化するか。特に P が臨界値 P* ∝ N を超えたときの変化は？
• RQ4 QAOA エネルギーのランドスケープがどのように単純化され、縮退した最小値と完全な基底状態忠実度をもたらすか？
• RQ5 このモデルにおいて、高忠実度の基底状態準備を達成するために必要なリソース（量子回路と古典的最適化ステップ）のスケーリングは何か？

主な発見

• QAOA は、p ≥ 3 の場合に量子アニーリングが指数的ギャップのため失敗する完全結合 p-spin フェルミオン磁性体の基底状態を、多項式的リソーススケーリングで準備できる。
• P ≪ N のとき、パラメータ空間に多数の非最適な局所的最小値が存在するため、QAOA の性能は初期化に極めて敏感である。
• P > P* ∝ N のとき、パラメータ空間の構造が単純化され、すべての局所的最小値が縮退するため、完全な基底状態忠実度が達成可能になる。
• P > P* のとき、変分パラメータ数は系サイズ N に対して広範にスケーリングされ、総リソースコストは N に対して多項式的スケーリングを示す。
• エネルギーのランドスケープは、(γ, β) → (−γ, −β)、β → β + π（p が奇数の場合）、および N や p の偶奇に応じて γ → γ + π または γ + π/2^p−1 の不変性を示す。
• 臨界閾値 P* は N に対して線形にスケーリングされ、複雑で粗いランドスケープから単純化され、縮退したランドスケープへの転移を示し、正確な基底状態準備を可能にする。