[論文レビュー] Polynomial Simulations of Decohered Quantum Computers

Dorit Aharonov, Michael Ben-Or|ArXiv.org|Nov 17, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、1キュービットのデコherence率をもつ密度行列モデルを用いて、デコherent量子コンピュータの計算能力を調査している。非ゼロのデコherence率に対して、逐次的および対数的並列性を持つ量子計算は、任意の非ゼロデコherence率において、古典的確率的チューリングマシン上で効率的にシミュレート可能であることが示されている。一方、より高い並列性を持つ量子回路では、デコherence率が臨界閾値（η₁ ≈ 0.64）を超える場合にのみ効率的なシミュレーションが可能であり、クラスタサイズの成長に明著な相転移が観察された。

ABSTRACT

We define formally decohered quantum computers (using density matrices), and present a simulation of them by a probabalistic classical Turing Machine. We study the slowdown of the simulation for two cases: (1) sequential quantum computers, or quantum Turing machines(QTM), and (2) parallel quantum computers, or quantum circuits. This paper shows that the computational power of decohered quantum computers depends strongly on the amount of parallelism in the computation. The expected slowdown of the simulation of a QTM is polynomial in time and space of the quantum computation, for any non zero decoherence rate. This means that a QTM subjected to any amount of noise is worthless. For decohered quantum circuits, the situation is more subtle and depends on the decoherence rate, eta. We find that our simulation is efficient for circuits with decoherence rate higher than some constant, but exponential for general circuits with decoherence rate lower than some other constant. Using computer experiments, we show that the transition from exponential cost to polynomial cost happens in a short range of decoherence rates, and exhibit the phase transitions in various quantum circuits.

研究の動機と目的

• 現実的な物理的状況下におけるデコherenceが量子コンピュータの計算能力に与える影響を理解すること。
• 固定された時間ステップあたりのデコherence率をもつ時間依存故障モデルを用いて、デコherenceを密度行列でモデル化すること。
• 古典的確率的チューリングマシンによるデコherent量子計算の効率的シミュレーションが可能となる条件を特定すること。
• 量子回路における効率的シミュレーションと指数的コストの境界を分ける臨界デコherence率閾値を同定すること。
• 並列性およびゲートのファンインがデコherenceに対する耐性に与える影響を調査すること。

提案手法

• 時間スケジュールとデコherence率 η をもつ量子媒体を用いてデコherenceをモデル化し、各キュービットが時間ステップごとに確率 η で独立に崩壊する。
• 故障経路に沿った密度行列の進化を追跡し、キュービットの崩壊を記録することでエンタングルメントを防ぎ、テンソル分解を可能にする。
• 正しい重みで故障経路をサンプリングし、それらに応じた混合状態の進化をシミュレートする確率的チューリングマシンを用いる。
• クラスタ解析を用いてエンタングルメントの伝播をモデル化：ゲートがキュービットを接続するとクラスタが拡大するが、崩壊イベントによって断片化される。
• コンピュータ実験を通じて、特にランダム回路および1次元近接キュービット回路において、η に応じたクラスタサイズの相転移を観察する。
• η < 0.5 の場合、ランダム回路では線形サイズのクラスタが出現し、指数的シミュレーションコストを示すことが証明された。一方、η > 0.64 の場合、クラスタサイズは対数的に保たれ、多項式的シミュレーションが可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逐次的または対数的並列性を持つデコherent量子コンピュータは、非ゼロのデコherence率に対し、任意の非ゼロデコherence率で古典的に効率的にシミュレート可能か？
• RQ2 量子回路が多項式時間でシミュレート可能となる臨界デコherence率 η は何か？ これは回路構造にどのように依存するか？
• RQ3 ランダム量子回路において、異なるデコherence率下でのエンタングルメントクラスタサイズの変化はいかなるものか？
• RQ4 多数のキュービットを含むゲートや高ファンインゲートは、単一キュービットゲートのシーケンスと比較して、デコherenceに対してより耐性を示すか？
• RQ5 特定のデコherence閾値において、計算複雑性に相転移が生じるか？ また、シミュレートされた回路において実験的に観察可能か？

主な発見

• 逐次的量子コンピュータおよび O(log n) の並列性を持つものでは、任意の非ゼロデコherence率に対して、古典的確率的チューリングマシン上で多項式時間のシミュレーションが可能である。
• ランダム量子回路において、シミュレーションコストは臨界デコherence率 η₀ ≈ 0.64 で指数的から多項式へと転移する。この閾値未満では、n に比例するサイズの巨大クラスタが出現する。
• デコherence率 η < 0.5 の場合、大きなエンタングルメントクラスタが形成され、効率的分解が不可能なため、ランダム回路では指数的シミュレーションコストが生じる。
• 1次元近接キュービット回路では、相転移が η ≈ 0.5 で発生し、空間的制約が臨界デコherence率閾値に影響を与えることが示された。
• エンタングルメントクラスタの成長は、時間ステップごとに要因 (2−α)η に従い、この要因が1を超えると指数的成長を示し、低 η では大規模なエンタングルメントが生じる。
• 結果から、デコherence耐性における相転移が強く、低デコherence率の量子コンピュータは古典的手法では効率的にシミュレートできない可能性があることが示唆された。