[論文レビュー] Polynomial Threshold Functions: Structure, Approximation and Pseudorandomness

Ido Ben‐Eliezer, Shachar Lovett+1 more|ArXiv.org|Nov 18, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、低次の多項式しきい値関数（PTF）の近似可能性と擬似乱数性に関する根本的な限界を確立する。PTFが少数の線形関数に依存する場合、k-一様独立分布によって欺けることが証明され、また多くの影響力を持つ変数をもつ関数は、低次のPTFでよく近似できないことが示され、近似理論および超合同性の道具を用いて、MODm や F2-多項式のような関数に対してタイトな境界を与える。

ABSTRACT

We study the computational power of polynomial threshold functions, that is, threshold functions of real polynomials over the boolean cube. We provide two new results bounding the computational power of this model. Our first result shows that low-degree polynomial threshold functions cannot approximate any function with many influential variables. We provide a couple of examples where this technique yields tight approximation bounds. Our second result relates to constructing pseudorandom generators fooling low-degree polynomial threshold functions. This problem has received attention recently, where Diakonikolas et al proved that $k$-wise independence suffices to fool linear threshold functions. We prove that any low-degree polynomial threshold function, which can be represented as a function of a small number of linear threshold functions, can also be fooled by $k$-wise independence. We view this as an important step towards fooling general polynomial threshold functions, and we discuss a plausible approach achieving this goal based on our techniques. Our results combine tools from real approximation theory, hyper-contractive inequalities and probabilistic methods. In particular, we develop several new tools in approximation theory which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 低次の多項式しきい値関数（PTF）の計算的パワーを、近似可能性と擬似乱数性の観点から理解すること。
• k-一様独立分布が、少数の線形関数に依存するPTFを欺けるかどうかを特定すること。
• 多くの影響力を持つ変数をもつ関数に対するPTFの近似誤差の下界を確立すること。
• ブール立方体上でのPTFの挙動を分析するための、実数近似理論における新しい道具を開発すること。

提案手法

• 多変数多項式の符号関数を近似するリプシッツ関数を構築するため、近似理論を用いる。この関数はコンact領域上で有界である。
• 超合同性不等式とモーメントの上限を適用し、一様分布およびk-一様独立分布下での線形関数の尾確率を制御する。
• 所望の誤差およびリプシッツ定数に応じて次数が決まる、有界領域上での符号関数の多項式近似を用いる。
• 線形関数の大きな値を取り扱うために切断（truncation）の議論を導入し、モーメント母関数を用いて誤差を上限付ける。
• 和集合の上限と集中不等式を組み合わせ、任意の線形関数が閾値Aを超える確率を制御する。
• PTFが少数の線形関数の関数として構造を持つことを利用し、問題を有界領域上の低次元多項式の解析に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-一様独立分布は、少数の線形関数に依存する多項式しきい値関数（PTF）を欺けるか？
• RQ2 多くの影響力を持つ変数をもつブール関数を近似するのに必要なPTFの最小次数は何か？
• RQ3 MODm や F2-多項式のような関数は、低次のPTFでどの程度よく近似できるか？
• RQ4 ブール立方体上でのPTFの挙動を分析するため、近似理論における新しい道具を開発できるか？
• RQ5 PTFの次数と、高影響力変数をもつ関数を近似する能力との間には、どのようなトレードオフがあるか？

主な発見

• 任意の次数dのPTFがm個の線形関数の関数である場合、k-一様独立分布によってε-欺き可能であり、k = exp(O(d/ε)^d) + poly((log m · d/ε)^d, m, wt(p)) が成り立つ。
• 少なくともn^αの影響力を持つ変数をもつ関数は、次数dのPTFで誤差1 - τ/2 + O(d/(α log n)^{1/8d}) 未満に近似できない。ここでτは最小影響力である。
• MODm 関数は、d ≤ O(log log n / log log log n) のとき、低次のPTFでは近似できない。近似誤差は最大で1 - 1/2 + o(1) である。
• 次数dのF2-多項式は、同じ次数制約下で低次のPTFに1/2 + o(1) 未満の誤差で近似できない。これは自明な境界である。
• PTFの期待値E[|g(x)|^{cA}] を、g(x) が大きな値をとる領域で上限付けるための新しい近似理論的道具が開発された。これは擬似乱数証明における尾部制御を可能にする。
• 線形関数が閾値Aを超える領域（尾部領域）における誤差は、A = Ω(φ(ε) ln φ(ε)) のときε/10未満に抑えられる。ここでφ(ε)はm, d, εに依存する。