[論文レビュー] Polynomial time algorithm for left [right] local testability

A. N. Trahtman|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2020

semigroups and automata theory参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、移行グラフおよび半群に関する必要十分条件に基づき、決定的有限オートマトン（DFA）が右または左局所的テスト可能な言語を受け入れるかどうかを判定する多項式時間アルゴリズムを提示する。この手法は、到達可能性解析、積グラフにおける強連結成分（SCC）検出、および効率的な走査を用い、局所的テスト可能性および局所的イドムポテンシーの検証を実行する。右局所的テスト可能性の時間計算量はO(n²)、左局所的テスト可能性の時間計算量はO(n³)である。

ABSTRACT

A right [left] locally testable language S is a language with the property that for some non negative integer k two words u and v in alphabet S are equal in the semi group if (1) the prefix and suffix of the words of length k coincide, (2) the set of segments of length k of the words as well as 3) the order of the first appearance of these segments in prefixes [suffixes] coincide. We present necessary and sufficient condition for graph [semi group] to be transition graph [semi group] of the deterministic finite automaton that accepts right [left] locally testable language and necessary and sufficient condition for transition graph of the deterministic finite automaton with locally idempotent semi group. We introduced polynomial time algorithms for the right [left] local testable problem for transition semi group and transition graph of the deterministic finite automaton based on these conditions. Polynomial time algorithm verifies transition graph of automaton with locally idempotent transition semi group.

研究の動機と目的

• DFAの移行グラフおよび半群が右または左局所的テスト可能であるための必要十分条件を確立すること。
• 移行グラフの構造的性質に基づき、DFAの局所的テスト可能性をチェックする効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 局所的テスト可能性の前提条件である移行半群の局所的イドムポテンシーを検証すること。
• 形式言語解析のためのTESTASソフトウェアパッケージに統合可能な計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• DFAの移行グラフΓを構築し、ノード間の到達可能性関係を計算する。
• ペアおよび三つ組の状態のSCC所属関係と到達可能性を分析するため、積グラフΓ²およびΓ³を構築する。
• Γ²およびΓ³におけるSCCノードを特定し、局所的テスト可能性に重要なサイクルおよび構造的依存関係を同定する。
• Γ²において新たなルートノード(0,0)から深さ優先探索を実行し、特定の制約下での到達可能性条件を検証する。
• Γ³における到達可能性テーブルおよび三つ組のチェックを用い、対称的状態ペアを含む左局所的テスト可能性の条件を検証する。
• 局所的イドムポテンシーは局所的テスト可能性の必要条件であるという事実を活用し、Γ²およびΓ³におけるSCCおよび到達可能性チェックにより検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的有限オートマトンの移行グラフが右局所的テスト可能な言語を受け入れるための必要十分条件は何か？
• RQ2 移行半群の局所的イドムポテンシーは、グラフ論的性質を用いてどのようにアルゴリズム的に検証できるか？
• RQ3 移行グラフおよびその積グラフΓ²およびΓ³のどの構造的特徴が左局所的テスト可能性を決定づけるか？
• RQ4 グラフおよび半群の条件に基づき、右および左局所的テスト可能性をテストする多項式時間アルゴリズムを構築できるか？
• RQ5 右および左局所的テスト可能性の条件は、到達可能性およびSCC制約の観点でどのように異なるか？

主な発見

• 本稿では、Γ²およびΓ³における到達可能性およびSCC構造に基づく、右局所的テスト可能性の必要十分条件を確立した。
• 右局所的テスト可能性のための多項式時間アルゴリズムは、DFAの状態数nを用いてO(n²)時間で実行可能である。
• 左局所的テスト可能性のためのアルゴリズムは、Γ³におけるより複雑なチェックおよび対称的到達可能性条件のため、O(n³)時間が必要となる。
• 移行半群の局所的イドムポテンシーを検証するためのアルゴリズムは、Γ²およびΓ³におけるSCCおよび到達可能性解析を用い、O(n³)時間で実行可能である。
• 提案されたアルゴリズムは、形式言語解析のためのTESTASソフトウェアパッケージに実装されている。
• 本研究の結果は、DFAにおける局所的テスト可能性および関連する性質を統合的かつ効率的にテストするフレームワークを提供することで、先行研究を改善している。