[論文レビュー] Polynomial Time Algorithms for Multi-Type Branching Processes and Stochastic Context-Free Grammars

Kousha Etessami, Alistair Stewart+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2012

Algorithms and Data Compression参考文献 22被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、多変数単調な確率的多項式方程式系（PPS）の最小不動点（LFP）解を近似する多項式時間アルゴリズムを提示する。これらは、多型ブランンチング過程と確率的文脈自由文法（SCFG）の主要な問題と同等である。著者らは、新規の収束解析を用いたニュートン法を適用し、システムの符号号化サイズと log(1/ε) に多項式的に依存する時間で、加法的誤差 ε 以内に LFP を近似できることを証明した。

ABSTRACT

We show that one can approximate the least fixed point solution for a multivariate system of monotone probabilistic polynomial equations in time polynomial in both the encoding size of the system of equations and in log(1/ε), where ε> 0 is the desired additive error bound of the solution. (The model of computation is the standard Turing machine model.) We use this result to resolve several open problems regarding the computational complexity of computing key quantities associated with some classic and heavily studied stochastic processes, including multi-type branching processes and stochastic context-free grammars.

研究の動機と目的

• 多型ブランンチング過程における絶滅確率と確率的文脈自由文法（SCFG）における終了確率を多項式時間で計算するという長年の未解決問題に取り組む。
• これらの確率的モデルにおける主要確率の近似の計算複雑性を解明し、それらが多項式時間で解けることが以前は未知であった。
• 多変数単調な確率的多項式方程式系の最小不動点（LFP）解が、任意の所望の加法的誤差に対して多項式時間で解けることを確立する。
• 確率が有理数の閾値 r より大きい、または小さいという意思決定問題が PosSLP に多項式時間還元可能であることを示し、それらが複雑性クラス P^{PosSLP} に属することを示す。

提案手法

• 絶滅確率および終了確率の計算問題を、単調な確率的多項式方程式系（PPS） x = P(x) の最小不動点（LFP）を求める問題として定式化する。
• 各ステップで行列逆行列とベクトル更新を用いて、ニュートン法により LFP を反復的に近似する。
• クラメルの定理を用いて行列逆行列を行列式の比として表現し、ユニットコスト RAM モデルにおける多項式時間の算術回路計算を可能にする。
• 二重指数的収束率に基づく停止基準を導入し、O(log log(1/ε)) 回の反復で誤差が ε 以内に収束することを保証する。
• 意思決定問題（q_k^* > r および q_k^* < r）を、多項式サイズの算術回路によって計算される有理数の比較に還元する。これらは既知の複雑性クラス PosSLP に属する。
• アレンドらの既知の結果を活用し、意思決定問題が PosSLP に多項式時間の多対一還元可能であることを示し、その計算可能性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数単調な確率的多項式方程式系の最小不動点解は、多項式時間で近似可能か？
• RQ2 多型ブランンチング過程における絶滅確率を、多項式時間および所望の精度で計算可能か？
• RQ3 確率的文脈自由文法（SCFG）における終了確率は効率的に近似可能か？ また、その確率が与えられた閾値を上回るかどうかを決定する計算複雑性は何か？
• RQ4 確率的多項式方程式系（PPS）の最小不動点が与えられた有理数 r より大きい、または小さいかどうかを決定する問題の複雑性は何か？
• RQ5 ブランンチング過程（BP）および SCFG における主要確率の計算や決定問題が、PosSLP などの既知の複雑性クラスに還元可能か？

主な発見

• 任意の多変数単調な確率的多項式方程式系（PPS）の最小不動点（LFP）は、システムの符号号化サイズと log(1/ε) に多項式的に依存する時間で、加法的誤差 ε 以内に近似可能である。
• アルゴリズムは、O(log log(1/ε)) 回の反復で ε-精度に達する収束率を持つニュートン法を用いる。
• LFP 成分 q_k^* が有理数の閾値 r より大きいかどうかという意思決定問題は、複雑性クラス P^{PosSLP} に属し、同様に q_k^* < r についても同様である。
• q_k^* > r および q_k^* < r を決定する問題は、PosSLP に多項式時間の多対一還元可能であり、標準の複雑性仮定のもとで計算可能性が確立される。
• アルゴリズムは標準のチューリングマシンモデルでも多項式時間で実行され、算術演算は多項式サイズの算術回路を介して行われる。
• 本結果により、多型ブランンチング過程および SCFG における絶滅確率と終了確率の計算複雑性に関する長年の未解決問題が解決された。