[論文レビュー] Polynomial-time Algorithms for the Subset Feedback Vertex Set Problem on Interval Graphs and Permutation Graphs

Charis Papadopoulos, Spyridon Tzimas|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、AT-freeグラフの2つの無関係な部分クラスである区間グラフと順列グラフにおける重み付きサブセットフィードバック頂点集合問題の、初めての多項式時間アルゴリズムを提示する。これらのグラフの構造的性質を活用し、頂点の分割に基づく動的計画法を用いることで、効率的な解法が得られ、マルチウェイカットなどの関連問題への応用が可能になる。

ABSTRACT

Given a vertex-weighted graph $G=(V,E)$ and a set $S \subseteq V$, a subset feedback vertex set $X$ is a set of the vertices of $G$ such that the graph induced by $V \setminus X$ has no cycle containing a vertex of $S$. The extsc{Subset Feedback Vertex Set} problem takes as input $G$ and $S$ and asks for the subset feedback vertex set of minimum total weight. In contrast to the classical extsc{Feedback Vertex Set} problem which is obtained from the extsc{Subset Feedback Vertex Set} problem for $S=V$, restricted to graph classes the extsc{Subset Feedback Vertex Set} problem is known to be NP-complete on split graphs and, consequently, on chordal graphs. However as extsc{Feedback Vertex Set} is polynomially solvable for AT-free graphs, no such result is known for the extsc{Subset Feedback Vertex Set} problem on any subclass of AT-free graphs. Here we give the first polynomial-time algorithms for the problem on two unrelated subclasses of AT-free graphs: interval graphs and permutation graphs. As a byproduct we show that there exists a polynomial-time algorithm for circular-arc graphs by suitably applying our algorithm for interval graphs. Moreover towards the unknown complexity of the problem for AT-free graphs, we give a polynomial-time algorithm for co-bipartite graphs. Thus we contribute to the first positive results of the extsc{Subset Feedback Vertex Set} problem when restricted to graph classes for which extsc{Feedback Vertex Set} is solved in polynomial time.

研究の動機と目的

• 古典的なフィードバック頂点集合問題が多項式時間で解けるグラフクラスにおいて、サブセットフィードバック頂点集合（SFVS）問題の計算量の複雑さを解明すること。
• スプリットグラフおよび弦的グラフにおけるSFVSのNP完全性を克服し、特定の部分クラスにおいて肯定的な結果を得ること。
• 区間グラフおよび順列グラフにおける重み付きSFVS問題の効率的アルゴリズムを開発すること。これらはAT-freeグラフの適切な部分クラスである。
• SFVSへの還元を通じて、これらのグラフクラスにおけるマルチウェイカットなどの関連問題の解法の基盤を提供すること。
• 共同双対グラフにおけるSFVSの多項式時間可解性を示すことで、AT-freeグラフにおけるSFVSの複雑さの理解を深めること。

提案手法

• 頂点を4つの集合に分割する動的計画法のアプローチを設計：X（解に含まれるS-頂点）、Y（Xに隣接する非S頂点）、Z（解に含まれないがYに隣接するS-頂点）、W（XやZに隣接しない非S頂点）。
• 最大のS-フォレストを形成できるようなこれらの4つの集合のすべての可能な構成を列挙し、S-頂点に誘導される部分グラフにおける閉路の存在を保証しないようにする。
• 区間グラフおよび順列グラフの構造的性質を活用し、このような構成の数を1ケースあたりO(n^4)に制限することで、多項式時間での列挙が可能になる。
• 区間グラフおよび順列グラフの表現（例えば、区間順序や順列行列構造）を活用した再帰的分解戦略を適用し、状態空間を導く。
• 安全な枝刈りルールを導入：XやZに隣接するS-頂点が存在しない頂点は、S-サイクルを生成しない限り、安全に解に含めることができる。
• 正しさの証明として、すべての最大S-フォレストが22個の標準的構成のいずれかに対応しており、それぞれが多項式時間で確認・処理可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区間グラフにおける重み付きサブセットフィードバック頂点集合問題は多項式時間で解けるか？
• RQ2 順列グラフにおける重み付きサブセットフィードバック頂点集合問題は多項式時間で解けるか？
• RQ3 区間グラフおよび順列グラフにおけるSFVSの多項式時間アルゴリズムの存在が、AT-freeグラフの他の部分クラスへも拡張可能か？
• RQ4 区間グラフおよび順列グラフと構造的に類似していることから、共同双対グラフにおけるSFVS問題は多項式時間で解けるか？
• RQ5 SFVSアルゴリズムが、これらのグラフクラスにおけるマルチウェイカットなどの関連問題の解法にどの程度まで利用可能か？

主な発見

• 本稿では、区間グラフにおける重み付きサブセットフィードバック頂点集合問題の、初めての多項式時間アルゴリズムを提示する。
• 同様に、順列グラフに対しても多項式時間アルゴリズムが開発され、AT-freeグラフの部分クラスにおいて、SFVSが多項式時間で解ける最初の肯定的結果である。
• 最大22n^4個の最大S-フォレストを列挙する必要があるため、アルゴリズムの実行時間はO(n^4)である。
• このアプローチにより、SFVSへの還元を通じて、区間グラフおよび順列グラフにおけるマルチウェイカット問題の多項式時間解法が可能になる。
• 共同双対グラフ（AT-freeグラフの部分クラス）に対しても多項式時間アルゴリズムが確立され、SFVSが解けるグラフクラスがさらに拡張される。
• これらの結果により、スプリットグラフおよび弦的グラフにおけるSFVSのNP完全性とは対照的に、区間グラフおよび順列グラフではSFVSが多項式時間で解けることが示された。