[論文レビュー] Polynomial-time Classical Simulation for One-dimensional Quantum Gibbs States

Tomotaka Kuwahara, Keiji Saito|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Quantum many-body systems参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の有限温度における1次元量子ギブズ状態の分配関数を近似する多項式時間古典的アルゴリズムを提示する。相関の指数的クラスタリングと、Baker-Campbell-Hausdorff展開の精密な解析を活用することで、自由エネルギーが誤差 𝜖 以内で計算可能であり、コストは 𝒪(n ⋅ poly(1/𝜖)) で抑えられ、多項式の次数は 𝛽 に関して e^{𝒪(𝛽)} に依存する。これにより、問題がPで効率的に解けることが示された。

ABSTRACT

This paper discusses a classical simulation to compute the partition function (or free energy) of generic one-dimensional quantum many-body systems. Many numerical methods have previously been developed to approximately solve one-dimensional quantum systems. However, there exists no exact proof that arbitrary one-dimensional quantum Gibbs states can be efficiently solved by a classical computer. Therefore, the aim of this paper is to prove this with the clustering properties for arbitrary finite temperatures $β^{-1}$. We explicitly show an efficient algorithm that approximates the partition function up to an error $ε$ with a computational cost that scales as $n\cdot { m poly}(1/ε)$, where the degree of the polynomial depends on $β$ as $e^{O(β)}$. Extending the analysis to higher dimensions at high temperatures, we obtain a weaker result for the computational cost n\cdot (1/ε)^{\log^{D-1} (1/ε)}, where $D$ is the lattice dimension.

研究の動機と目的

• 任意の有限温度における一般の1次元量子多体系の分配関数を近似する計算複雑度を確立すること。
• 自由エネルギーを 1/poly(n) の精度で近似する意思決定問題がPに属することを証明し、長年の未解決であった量子多体物理学における根本的問題を解決すること。
• 高温におけるクラスタリングを仮定したもとで、高次元系への解析を拡張し、計算コストのスケーリングを同定すること。
• Baker-Campbell-Hausdorff（BCH）展開に対する改良された境界を用いて、量子ギブズ状態における局所的近似の正当化を厳密に行うこと。

提案手法

• 1次元ギブズ状態における量子近似的マルコフ性と相関の指数的クラスタリングを活用し、物理量の局所的近似を可能にする。
• Dyson展開を用いて局所的演算子を時序指数関数の形に表現し、分配関数の制御された近似を可能にする。
• 繰り返し交換子のノルムに対する精密な境界を導入：||ad_H^m(O_L')|| ≤ (6km/(γ log m))^m であり、1次元系におけるBCH展開の収束を保証する。
• ブロックスピンの縮約スキームを用いて、サイズ l の領域における局所的物理量のトレースを近似し、l を 𝒪(ξ e^{𝒪(𝛽)} log(1/𝜖)) に設定する。
• 局所的近似における項の数を推定することで計算コストの上限を導出し、1次元系では d^{𝒪(ξ e^{𝒪(𝛽)} log(1/𝜖))} のコストが得られる。
• 高次元への拡張において、局所的領域の体積スケーリングを考慮し、高温におけるクラスタリングを仮定したもとで、コストが (1/𝜖)^{𝒪(ξ^D log^{D-1}(1/𝜖))} に比例することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の1次元量子ギブズ状態の分配関数は、古典コンピュータ上で多項式時間で計算可能か？
• RQ2 1次元系において、系のサイズ n と所望の精度 𝜖 に関して、計算コストの正確なスケーリングはどのように変化するか？
• RQ3 高温におけるクラスタリングを仮定したもとで、高次元系における分配関数の計算複雑度はどのようにスケーリングするか？
• RQ4 1次元系におけるBaker-Campbell-Hausdorff展開の収束は、証明可能な効率的古典的シミュレーションを可能にするか。その場合、どのような条件下で可能となるか？

主な発見

• 1次元量子ギブズ状態の分配関数は、誤差 𝜖 以内で 𝒪(n ⋅ poly(1/𝜖)) 時間で近似可能であり、多項式の次数は 𝛽 に関して e^{𝒪(𝛽)} に依存する。これにより、古典的シミュレーションが効率的に行えることが証明された。
• 1次元系の計算コストは d^{𝒪(ξ e^{𝒪(𝛽)} log(1/𝜖))} に比例し、ξ は相関長である。指数部は 𝛽 に関して指数関数的に依存する。
• 高次元（D ≥ 2）では、高温におけるクラスタリングを仮定したもとで、計算コストは (1/𝜖)^{𝒪(ξ^D log^{D-1}(1/𝜖))} に比例する。これは 1/𝜖 に関して指数的ではないが、多項式よりは速い。
• 主な技術的進展は、繰り返し交換子に対する新しい境界：||ad_H^m(O_L')|| ≤ (6km/(γ log m))^m であり、これは1次元系におけるBCH展開の収束を保証する。
• この結果により、1次元系において、1サイトあたりの自由エネルギーを 1/poly(n) の精度で計算する意思決定問題がPに属することが示された。
• 高次元における非可換ハミルトニアンでは、逆温度 𝛽_c = 𝒪(1) の臨界値を超えると、近似の局所性が崩れ、この手法は破綻する。