[論文レビュー] Polynomial-Time Solution to the Hidden Subgroup Problem for a Class of non-abelian Groups

Martin Roetteler, Thomas Beth|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用数 62

ひとこと要約

この論文は、$W_n = \mathbb{Z}_2^n \wr \mathbb{Z}_2$ と呼ばれる非アーベル群の族における隠れ部分群問題（HSP）を解く多項式時間の量子アルゴリズムを提示する。この手法は、$W_n$ 上での効率的な量子フーリエ標本化と、$\mathbb{F}_2$ 上での線形代数を用いた古典的後処理を組み合わせており、$O(n)$ 回の量子クエリと多項式時間の古典的計算で、隠れ部分群を正確に再構成可能である。

ABSTRACT

We present a family of non-abelian groups for which the hidden subgroup problem can be solved efficiently on a quantum computer.

研究の動機と目的

• アーベル群に限らない効率的量子アルゴリズムの適用範囲を拡張し、非アーベル群のクラスにおける隠れ部分群問題（HSP）を解くこと。
• 特にフーリエ標本化に適した構造的性質を持つ非アーベル群を特定し、HSPの効率的解法を可能にする要因を同定すること。
• W_n = \mathbb{Z}_2^n \wr \mathbb{Z}_2 のHSPが、効率的な古典的後処理を伴う量子コンピュータ上で多項式時間で解けることを示すこと。
• 非アーベルHSPをアーベル部分問題に分解し、共役に基づく標本化を用いることで解くためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 関数 $f: G \to R$ に重ね合わせアクセスが可能な標準量子回路モデルの使用。ここで $f$ は隠れ部分群 $U \leq G$ の陪集合上で定数かつ一意である。
• 群 $W_n$ 全体にわたる一様重ね合わせの準備を行い、その後 $f$ を重ね合わせ状態で評価することで、隠れ部分群 $U$ の陪集合へ状態を射影する。
• $W_n$ 上での量子フーリエ変換（QFT）の適用。群の構造と有界な指数により、このQFTは効率的に実装可能である。
• 最初のレジスタの測定により、$U^\perp$ または $(U^t)^\perp$ からの標本が得られる。これは、陪集合代表元が基本群 $N$ に属するか否かに依存する。
• 量子段階を繰り返し、$U^\perp \cap N$ および $(U^t)^\perp \cap N$ からの標本を取得する。ここで、$U^\perp$ や $(U^t)^\perp$ の半数が $N$ の外側にあるという事実を活用する。
• $\mathbb{F}_2$ 上での線形代数を用いた古典的後処理により、標本化された部分群の直交補空間を計算し、$U \cap U^t$ の生成子を得る。これにより、$U = (U \cap N) \cdot (U \cap U^t)$ を通じて $U$ を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル群において、アーベルの場合を超えてHSPを効率的に解くことは可能か？
• RQ2 W_n = \mathbb{Z}_2^n \wr \mathbb{Z}_2 の構造は、効率的な量子フーリエ標本化と部分群再構成を可能にするか？
• RQ3 W_n のHSPは、アーベルHSPに還元可能であり、共役対称性を用いて完全な隠れ部分群を回復できるか？
• RQ4 量子標本化と $\mathbb{F}_2$ 上での古典的線形代数を用いて、非アーベル隠れ部分群を体系的に再構成する方法はあるか？
• RQ5 表現論的技法を用いて、$\mathbb{Z}_2^n \rtimes_\varphi \mathbb{Z}_2$ の形をした他のスプリット拡大に対してもこのアプローチを一般化できるか？

主な発見

• 非アーベル群 $W_n = \mathbb{Z}_2^n \wr \mathbb{Z}_2$ の隠れ部分群問題は、量子コンピュータ上で多項式時間で解ける。
• このアルゴリズムは、量子ブラックボックス関数 $f$ の評価をたった $O(n)$ 回で行い、回路の深さも $n$ に対して多項式的である。
• 群 $W_n$ 上での量子フーリエ変換は効率的に実装可能であり、$U^\perp$ および $(U^t)^\perp$ からの有効な標本化を可能にする。
• 古典的後処理では $\mathbb{F}_2$ 上の線形方程式系を解く必要があり、これは多項式時間で実行可能であり、$U \cap N$ および $U \cap U^t$ の生成子を生成する。
• 完全な隠れ部分群 $U$ は、$W_n$ の部分群における標準的因数分解性質を用いて、積 $U = (U \cap N) \cdot (U \cap U^t)$ として再構成される。
• 確率 $1 - 2^{-n}$ で、期待される $4n$ 回の反復後にアルゴリズムは正しく $U$ を再構成することができ、問題のプロミス条件のもとで正しさが保証される。