[論文レビュー] Polynomialité des coefficients de structure des algèbres de doubles-classes

Omar Tout|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Gelfand対、特に超八面体対 $(\mathcal{S}_{2n}, \mathcal{B}_n)$ に関連する二重類代数の構造係数が、分割インデックスを用いて表現された場合、$n$ に関して多項式的であることを確立する。特徴的理論と対称関数およびマップ数え上げへの接続を用いて、これらの係数が $n$ の多項式関数であることを証明し、既知の対称群中心に関する結果を拡張し、それらの計算の一般枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this thesis we studied the structure coefficients and especially their dependence on $n$ in the case of a sequence of double-class algebras. The first chapter is dedicated to the study of the structure coefficients in the general cases of centers of group algebras and double-class algebras. We recall in it the representation theory of finite groups and its link with structure coefficients. We show also that the study of the structure coefficients of double-class algebras is related to the theory of Gelfand pairs and zonal spherical functions by giving, in the case of Gelfand pairs, a theorem similar to that of Frobenius which writes the structure coefficients of the double-class algebra associated to a Gelfand pair in terms of zonal spherical functions. In the second chapter, we recall the Farahat and Higman's theorem about the polynomiality of the structure coefficients of the center of the symmetric group algebra as well as the Ivanov and Kerov's approach to prove this theorem. We give a combinatorial proof to the polynomiality property of the structure coefficients of the Hecke algebra of the pair $(S_{2n},B_n)$ in the third chapter. Our proof uses a universal algebra which projects on the Hecke algebra of $(S_{2n}, B_n)$ for each $n.$ We show that this universal algebra is isomorphic to the algebra of $2$-shifted symmetric functions. In the fourth and last chapter we build a general framework which gives us the form of the structure coefficients in the case of a sequence of double-class algebras. This framework implies the polynomiality property of the structure coefficients of both the center of the symmetric group algebra and the Hecke algebra of $(S_{2n},B_n).$ In addition, we give a polynomiality property for the structure coefficients of both the center of the hyperoctahedral group algebra and the double-class algebra of $diag(S_{n-1})$ in $S_n imes S_{n-1}^{opp}.$

研究の動機と目的

• 二重類代数の構造係数がパrameter $n$ に依存する様子を、特に Gelfand 対の文脈で調査すること。
• 対称群代数中心に関する既知の多項式性結果を、より広いクラスの二重類代数へと拡張すること。
• 任意の Gelfand 対における構造係数の一般的特徴的公式を確立すること。
• 構造係数を曲面上のマップの組合せ的数え上げと結びつけること。これは、可定向および非可定向な曲面に対する既知の結果を一般化する。
• 表現論、対称関数、およびトポロジカルグラフ理論を多項式的構造係数を通じて統合する枠組みを提供すること。

提案手法

• Gelfand 対における特徴的理論および一般化された Frobenius 公式を用いて、構造係数を球面ゼオン関数の形で表現する。
• Jack 多項式およびゼオン多項式の理論を適用し、構造係数を対称関数展開における係数としてモデル化する。
• 二重類代数とマップ数え上げとの関係を活用する：構造係数は、曲面上の指定された頂点次数を持つマップの数を数える。
• $(\mathcal{S}_{2n}, \mathcal{B}_n)$ の場合、代数が $n$ の分割によってインデックス付けられる基底を持つことを利用して、多項式的パrameter化を可能にする。
• 母関数および単項式展開を用いて明示的公式を導出し、$n$ における多項式性を証明する。
• Gelfand 対における構造係数に関する一般定理を確立し、[JS12a] および [GJ96] の先行結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G = \mathcal{S}_{2n} および K = \mathcal{B}_n のとき、二重類代数 $\mathbb{C}[K\setminus G/K]$ の構造係数は $n$ に関して多項式的か？
• RQ2 任意の Gelfand 対における構造係数の一般的特徴的公式を、群中心の Frobenius 公式に類似した形で確立できるか？
• RQ3 $\mathbb{C}[\mathcal{B}_n\setminus \mathcal{S}_{2n}/\mathcal{B}_n]$ の構造係数は、どの程度マップの数え上げを表し、対称群中心に関する既知のマップ数え上げをどのように一般化するか？
• RQ4 構造係数は $n \to \infty$ の際に漸近的にどのように振る舞い、分割パrameter に関して関数的形は何か？
• RQ5 対称関数論およびゼオン多項式を用いて、構造係数の多項式性を証明できるか？

主な発見

• 固定された分割インデックスに対して、二重類代数 $\mathbb{C}[\mathcal{B}_n\setminus \mathcal{S}_{2n}/\mathcal{B}_n]$ の構造係数は $n$ に関して多項式的である。
• 任意の Gelfand 対における構造係数の一般的特徴的公式が確立され、Frobenius の公式が二重類の文脈へと拡張された。
• $\mathbb{C}[\mathcal{B}_n\setminus \mathcal{S}_{2n}/\mathcal{B}_n]$ の構造係数は、非可定向な曲面上で指定された頂点次数を持つマップの数を数え、可定向の場合を一般化する。
• これらの係数は、ゼオン多項式を単項式基底に展開する際の構造定数として現れ、Jack 多項式と関連づけられる。
• 多項式性の結果は、すべての分割タイプに一様に成り立ち、次数は分割インデックスの和によって上限づけられる。
• マップ数え上げとの接続により、係数に組合せ的解釈が与えられ、それらの整数性および非負性が確認される。