[論文レビュー] Polynomials Associated with the Higher Derivatives of the Airy Functions Ai(z) and Ai'(z)

Bernard J. Laurenzi|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2011

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、部分ベル多項式とファウ・ディ・ブルーノの公式を用いて、エアリー関数 $\operatorname{Ai}(z)$ および $\operatorname{Ai}'(z)$ の高階導関数に現れる多項式 $\tilde{P}_n(z)$ と $Q_n(z)$ の一般閉形式式を導出する。主たる貢献は、これらの多項式が非自明な再帰的関係に従い、不連続関数 $\mathsf{M}(m)$ と $\epsilon(m)$ を介してインデックスの偶奇に依存する複雑な依存性を示す、体系的かつ解析的に取り扱いやすいフレームワークを提供することにある。これにより、高階導関数の正確な記号的計算が可能となる。

ABSTRACT

The Airy function Ai(z) and its derivative Ai'(z) occur in a large number of applications in Chemistry and Physics. As a result, there is a continuing interest in the properties of these functions. Recently, there has been interest in obtaining general expressions for the higher derivatives of these functions. In this work, general expressions for the polynomials which are contained in these derivatives are given in terms of the partial Bell polynomials.

研究の動機と目的

• エアリー関数 $\operatorname{Ai}(z)$ および $\operatorname{Ai}'(z)$ の $n$ 階導関数に現れる多項式 $\mathcal{P}_n(z)$ と $Q_n(z)$ の一般解析的表現を導出すること。
• エアリー関数のベッセル関数表現にファウ・ディ・ブルーノの公式を適用することで、これらの多項式と部分ベル多項式との間の関係を確立すること。
• 非自明な再帰的関係と偶奇依存性を示す、構造的複雑性を、不連続関数 $\mathsf{M}(m)$、$\mathcal{M}(m)$、$\epsilon(m)$ を導入することで解明すること。
• 一般化超幾何関数とガンマ関数を用いて、奇数次多項式 $\mathcal{P}_{2m+1}(z)$ および $Q_{2m+1}(z)$ の係数を明示的に表現し、有限和として $m$ に関する重み付き多項式として表現可能であることを示すこと。
• 再帰的および微分的関係を用いて、$n$ が大きくても $\operatorname{Ai}(z)$ および $\operatorname{Ai}'(z)$ の高階導関数を実用的に計算可能とする。

提案手法

• $\zeta = \frac{2}{3}z^{3/2}$ とおくとき、$K_{2/3}(\zeta)$ の $n$ 階導関数にファウ・ディ・ブルーノの公式を適用し、部分ベル多項式 $B_{n,k}$ を用いて表現する。
• ベッセル関数表現 $\operatorname{Ai}'(z) = -\frac{1}{\pi\sqrt{3}} z K_{2/3}(\zeta)$ を用いて、$\operatorname{Ai}'(z)$ の高階導関数を $K_{2/3}^{(n)}(\zeta)$ および $K_{2/3}^{(n-1)}(\zeta)$ の線形結合として表し、$z$ および $n$ を含む係数を導出する。
• $\mathcal{P}_n(z)$ および $Q_n(z)$ の再帰的関係 $\mathcal{P}_{n+2} = z\mathcal{P}_n + n\mathcal{P}_{n-1}$、$Q_{n+2} = zQ_n + nQ_{n-1}$ および微分的関係 $\mathcal{P}_{n+1} = \frac{d}{dz}\mathcal{P}_n + zQ_n$、$Q_{n+1} = \frac{d}{dz}Q_n + \mathcal{P}_n$ を導出する。
• 生成関数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} \mathcal{P}_n(z) = \pi \left[ Bi'(z)Ai(z+t) - Ai'(z)Bi(z+t) \right]$ および $Q_n(z)$ についても同様に導出する。
• $\mathcal{P}_{2m+1}(z)$ および $Q_{2m+1}(z)$ の係数を、ガンマ関数および二項係数を含む有限和として表現し、補助係数 $C_i^{(0)}(m,p)$ および $C_i^{(2)}(m,p)$ を導入する。
• 係数の和を、${}_3F_2$ および ${}_4F_3$ の超幾何関数の組み合わせとして表現するが、簡略化が有利でないことが判明する。
• 再帰的または微分的関係を用いて、奇数次多項式から偶数次多項式 $\mathcal{P}_{2m}(z)$ および $Q_{2m}(z)$ を導出し、すべての $n$ を網羅する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エアリー関数 $\operatorname{Ai}(z)$ および $\operatorname{Ai}'(z)$ の $n$ 階導関数に現れる多項式 $\mathcal{P}_n(z)$ および $Q_n(z)$ の一般解析的構造は何か？
• RQ2 部分ベル多項式とファウ・ディ・ブルーノの公式を用いて、エアリー関数の高階導関数を体系的にどのように表現できるか？
• RQ3 多項式列 $\mathcal{P}_n(z)$ および $Q_n(z)$ に現れる複雑で偶奇依存性のある振る舞いの起源は何か？ そして、代数的にどのように捉えられるか？
• RQ4 奇数次多項式 $\mathcal{P}_{2m+1}(z)$ および $Q_{2m+1}(z)$ の係数に対して閉形式式を導出可能か？ もしそうなら、その関数的形は何か？
• RQ5 再帰的および微分的関係 $\mathcal{P}_n(z)$ および $Q_n(z)$ を用いて、直接的な記号的展開なしに高階導関数をどの程度まで計算可能か？

主な発見

• エアリー関数 $\operatorname{Ai}(z)$ および $\operatorname{Ai}'(z)$ の $n$ 階導関数に現れる多項式 $\mathcal{P}_n(z)$ および $Q_n(z)$ は、$\mathcal{P}_{n+2} = z\mathcal{P}_n + n\mathcal{P}_{n-1}$ および $Q_{n+2} = zQ_n + nQ_{n-1}$ という、これまで未だ研究されていなかった新しい2つの結合再帰的関係に従う。
• 微分的再帰的関係 $\mathcal{P}_{n+1} = \frac{d}{dz}\mathcal{P}_n + zQ_n$ および $Q_{n+1} = \frac{d}{dz}Q_n + \mathcal{P}_n$ は、高階表現を導出するために不可欠であり、付録で証明されている。
• $\mathcal{P}_n(z)$ および $Q_n(z)$ の生成関数は、明示的に $\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} \mathcal{P}_n(z) = \pi \left[ Bi'(z)Ai(z+t) - Ai'(z)Bi(z+t) \right]$ および $\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} Q_n(z) = \pi \left[ Ai(z)Bi(z+t) - Bi(z)Ai(z+t) \right]$ として与えられる。
• 奇数次多項式において、係数はガンマ関数および二項係数を含む有限和として表現され、$\mathcal{P}_{2m+1}(z)$ および $Q_{2m+1}(z)$ は、構造的複雑性を支配する不連続関数 $\mathsf{M}(m)$、$\mathcal{M}(m)$、$\epsilon(m)$ に依存する。
• $\mathcal{P}_{2m+1}(z)$ および $Q_{2m+1}(z)$ の係数 $\mathbf{C}_{1/3}(m,q)$ および $\mathbf{C}_{2/3}(m,q)$ は閉形式で導出されたが、さらに簡略化できない。これらはガンマ関数比の和として $i$ についての和として表現される。
• $C_i^{(0)}(m,p)$ および $C_i^{(2)}(m,p)$ が $m$ に関する重み付き多項式として表現可能であることが示され、例えば $C_1^{(0)}(m,p) = 2^{2m} \binom{m}{m-p-1} \cdot \wp^{(p)}(m)$ のように表される。これは、多項式列の背後にある深い代数的構造を示している。