[論文レビュー] Polynomials, roots, and interlacing

Steve Fisk|ArXiv.org|Dec 28, 2006

Matrix Theory and Algorithms被引用数 51

ひとこと要約

本稿は、実数解をもつ多項式の包括的な理論的枠組みを提示する。主な焦点は、交互性（interlacing）の性質、根の位置を保存する線形変換、および直交多項式、行列理論、解析関数との関連に向けられている。主な貢献は、交互性と実数解の保持を保証する線形変換の体系的分類であり、安定性理論、特殊関数、係数の不等式への応用を含む。

ABSTRACT

This work is divided into three parts. The first part concerns polynomials in one variable with all real roots. We consider linear transformations that preserve real rootedness, as well as matrices that preserve interlacing. The second part covers polynomials in several variables that generalize polynomials with all real roots. We introduce generating functions and use them to establish properties of a linear transformation. We also consider matrices and matrix polynomials. The third part considers polynomials with complex roots. The two main classes considered are polynomials with all roots in the left half plane (stable polynomials) and those with all roots in the lower half plane (Upper half plane polynomials). These naturally generalize to polynomials in many variables. And, of course, there is much more.

研究の動機と目的

• すべての根が実数である多項式のための、交互性の性質を統一的に理論化すること。特に符号の交互性とその定量的変種に注目する。
• 交互性と実数解の保持を保証する線形変換を特徴づけること。微分作用素、積分作用素、乗数作用素を含む。
• 行列理論（特に完全正行列）と多項式の根の交互性との関係を探索すること。
• 実数解の保持に関する結果を、一様収束とラグレール＝ポリア類を用いて、解析関数および整関数へと拡張すること。
• 係数の不等式、対数的凹型、再帰的数列が、実数解の保持と交互性の維持に果たす役割を調査すること。

提案手法

• 符号の交互性と定量的バージョン（例えば、行列式不等式）を用いて、根の分布と交互性の挙動を分析する。
• 行列式、行列変換、シュール補完を用いた線形代数的手法を、多項式族における交互性の研究に応用する。
• 微分作用素、アフィン変換、ダイヤモンド積を用いて、新たな実数解をもつ多項式を生成・分析する。
• 「相互交互性（mutual interlacing）」の概念を導入・分析し、多項式族および行列ペンシルへの影響を検討する。
• 古典的直交多項式（エルミート、ラゲール、アーベル）とその母関数を用いて、変換則を導出する。
• 複素解析とハダマール因数分解定理を応用し、結果を整関数へと拡張し、ラグレール＝ポリア類を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの線形変換が多項式列における実数解の交互性を保存するか？
• RQ2 行列変換（特に完全正行列）は、多項式の交互性と実数解の保持にどのように関係するか？
• RQ3 実数解をもつ多項式の線形結合が、常に実数解をもつための条件は何か？
• RQ4 直交多項式と特殊関数の理論を用いて、根を保存する変換を構成・分類するにはどうすればよいか？
• RQ5 多項式または解析関数がラグレール＝ポリア類に属する（すなわち、すべての零点が実数である）ための必要十分条件は何か？

主な発見

• 符号と交互性の条件を満たす係数をもつ、交互な実数解をもつ多項式の線形結合は、実数解をもつ。これは古典的結果の一般化である。
• 多項式族が交互性を満たすための必要十分条件は、その関連行列（行列式条件を介して定義）が完全正であることである。これにより、行列理論と根の分布が結びつけられる。
• 下り階乗とあがり階乗の変換は、実数解の保持と交互性を保つ。これらの作用素が多項式基底に与える影響について、明示的な公式が導出された。
• すべての根が実数である多項式の集合は、特定の線形変換に関して一様閉じており、その閉包にはラグレール＝ポリア型の整関数が含まれる。
• Ppos（正の係数をもつ）領域に属する2つの実数解をもつ多項式のハダマール積は実数解をもち、特定の条件下で交互性を保つ。
• 線形変換（例えば微分作用素）の固有多項式は、変換が特定の正則性と交互性基準を満たす場合に実数解をもつ。これは、エルミートおよびラゲール多項式に関する古典的結果の一般化である。