[論文レビュー] Polyominoes with nearly convex columns: A semidirected model

Svjetlan Feretić|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2009

Point processes and geometric inequalities参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、列が最大2つの連結成分を持ち、それらの間のギャップが最大 $m$ 個のセルに制限されるように一般化された、ヘキサゴナル格子上のレベル-$m$ チェージー多ポリオミノを導入する。半方向制約とTemperley法を用いて、有理関数としての面積生成関数を導出し、成長定数が $m$ に従って増加することを示した。特にレベル3では成長定数が4.2886に達し、列凸多ポリオミノを上回るが、マルチ方向動物には及ばない。

ABSTRACT

Column-convex polyominoes are by now a well-explored model. So far, however, no attention has been given to polyominoes whose columns can have either one or two connected components. This little known kind of polyominoes seems not to be manageable as a whole. To obtain solvable models, one needs to introduce some restrictions. This paper is focused on polyominoes with hexagonal cells. The restrictions just mentioned are semidirectedness and an upper bound on the size of the gap within a column. The solvable models so obtained have rational area generating functions, as column-convex polyominoes do. However, the growth constants of the new models are 4.114908 and more, whereas the growth constant of column-convex polyominoes is 3.863131.

研究の動機と目的

• 列に最大2つの連結成分とそのギャップが制限される多ポリオミノの一般化により、列凸多ポリオミノを拡張すること。
• 有理面積生成関数を持つ解けるモデルを構築し、制限のないほぼ凸列多ポリオミノの非解明性を回避すること。
• 既知の解けるモデル（列凸や方向付き多ポリオミノなど）と比較して、より高い成長定数が達成可能かどうかを検討すること。
• 将来的なモデル（チーズリー・ブロック付き多ポリオミノや列部分凸多ポリオミノなど）の基盤を築くこと。
• 既知のクラス（マルチ方向動物や全多ポリオミノなど）と比較して、これらのモデルの漸近的成長を検討すること。

提案手法

• レベル-$m$ チェージー多ポリオミノを、各列が最大2つの連結成分を持ち、それらの間のギャップが最大 $m$ 個のセルである右方向半方向多ポリオミノとして定義する。
• Bousquet-MélouとSvrtanが開発したTemperley法の「ターボ版」を適用し、面積生成関数を導出する。
• 列構造と半方向制約に基づく再帰的分解を用いて、多ポリオミノの成長を段階的にモデル化する。
• 小規模なケースの正確な列挙を用いて、$m = 1, 2, 3$ のレベルにおける有理生成関数を記号計算により導出する。
• 小規模な $n$ における計算済みの個数と既知の値を比較することで、列凸多ポリオミノや他の多ポリオミノクラスとの一貫性を検証する。
• 有理生成関数の主要特異点から成長定数を抽出することで、漸近的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 列にギャップが制限される列凸多ポリオミノの一般化が、有理面積生成関数を持つ解けるモデルとして構築可能か？
• RQ2 このような一般化された多ポリオミノの成長率は何か？ また、列凸多ポリオミノやマルチ方向動物といった既知のモデルと比較するとどうなるか？
• RQ3 ギャップサイズの上限 $m$ を大きくすることで、成長定数は単調に増加するか？ また、$m \to \infty$ の極限での挙動は？
• RQ4 半方向制約が有理生成関数を達成するために不可欠であるか？ それとも、解けない性質を失わずにさらに一般化可能か？
• RQ5 レベル1のチェージー多ポリオミノの周囲生成関数は計算可能か？ また、正の収束半径を持つだろうか？

主な発見

• レベル1のチェージー多ポリオミノの面積生成関数は有理関数であり、成長定数は約4.1149である。
• レベル2では成長定数は約4.2318に増加し、レベル3では4.2886に達する。
• $n$ マスからなるレベル-$m$ チェージー多ポリオミノの漸近的数は $c_m \times \lambda_m^n$ の形に成長し、$\lambda_m$ は $m$ に従って増加する。$c_1 \approx 0.1441$, $c_2 \approx 0.1210$, $c_3 \approx 0.1082$ である。
• 列凸多ポリオミノの成長定数（3.8631）は、すべてのレベルのチェージー多ポリオミノによって上回られ、より速い成長率を示している。
• 観察された一次差分に基づくと、チェージー多ポリオミノの成長定数は $m \to \infty$ のとき約4.346に収束するように思われる。
• 周囲生成関数は、収束半径が0であると予想されるため、周囲で数え上げることは期待されない。