[論文レビュー] Polysymplectic Hamiltonian formalism and some quantum outcomes

G. Giachetta, L. Mangiarotti+1 more|ArXiv.org|Oct 30, 2004

Quantum Mechanics and Applications参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、第一階ラグランジュ場理論に対する共変多シンプレクティックハミルトニアン形式を定式化し、熟練した量子場理論手法による量子化を可能にする厳密な幾何学的枠組みを確立する。主な貢献は、ほぼ正則ラグランジュ系とその関連ハミルトニアン系との間の同値性であり、これはレジェンドル bundle 上で記述され、ヤン–ミルズ理論を含む退化系に対して BV 量子化が適用可能である。

ABSTRACT

Covariant (polysymplectic) Hamiltonian field theory is formulated as a particular Lagrangian theory on a polysymplectic phase space that enables one to quantize it in the framework of familiar quantum field theory.

研究の動機と目的

• 多シンプレクティック構造を用いたレジェンドル bundle 上での共変ハミルトニアン場理論の幾何的枠組みの構築。
• 第一階ラグランジュ場理論とそのハミルトニアン形式との間の厳密な対応関係の確立、特にほぼ正則および超正則ラグランジュ量の文脈において。
• バタリン–ヴィルコビスキー（BV）形式を多シンプレクティック枠組み内で用いて、制約付きおよび退化場理論の量子化手順の提供。
• ヤン–ミルズ理論を含むゲージ対称性を持つ系へまで、二次ラグランジュ量の経路積分量子化を一般化すること。
• ゲージ対称性がハミルトニアン形式における果たす役割の解明、およびそれらがレジェンドル bundle とジャンプ延長にどのように作用するかの関係の特定。

提案手法

• レジェンドル bundle $\Pi = V^*Y \wedge (\wedge^{n-1}T^*X)$ 上に、標準的多シンプレクティック形式 $\Omega = dp_i^\lambda \wedge dy^i \wedge \omega \otimes \partial_\lambda$ を備えた多シンプレクティックハミルトニアン形式を形式化する。
• ハミルトニアン $\mathcal{H}$ をバンドル $\zeta: Z_Y \to \Pi$ のセクションとして定義し、ハミルトニアン形式 $H = \mathcal{H}^*\Xi_Y = p_i^\lambda dy^i \wedge \omega_\lambda - \mathcal{H}\omega$ を導出する。
• レジェンドル写像 $\widehat{L}: J^1Y \to \Pi$ を通じてラグランジュ形式とハミルトニアン形式との間の同値性を確立し、その像 $N_L$ をラグランジュ制約空間とみなす。
• 制約部分多様体 $N \subset \Pi$ の近傍 $U$ における制約部分多様体上へのラグランジュ量 $L_\Pi = \pi_N^*L_N$ の引き戻しに BV 量子化を適用する。
• ゲージ対称性を、$\Pi \times_Y J^1Y$ の自己同型 $\Phi$ として定義し、それらがラグランジュ量 $L_\Pi$ を保存するものとし、無限小生成子を $\Pi \times_Y J^1Y$ 上のベクトル場 $\overline{u}$ として与える。
• 垂直ベクトル場 $u$ が $Y \to X$ 上で $L_\Pi$ のゲージ対称性を誘導するための条件（45）を導出する。この条件により、ラグランジュ量が群作用に対して不変であることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一階ラグランジュ場理論に対して、多シンプレクティック幾何学を用いて一貫した共変ハミルトニアン形式をどのように定式化できるか？
• RQ2 場理論の文脈において、マルチシンプレクティック、多シンプレクティック、およびハミルトン–ド・ドンデル形式との間の正確な幾何学的関係は何か？
• RQ3 どのような条件下でラグランジュ量が関連するハミルトニアン系を有するようになるのか？また、これはラグランジュ量の正則性とどのように関係するか？
• RQ4 退化的およびほぼ正則ラグランジュ系は、多シンプレクティック枠組み内での BV 形式を用いて、どのように一貫して量子化できるか？
• RQ5 ゲージ対称性はハミルトニアン形式において果たす役割は何か？また、元のラグランジュ量の対称性とどのように関連しているか？

主な発見

• 多シンプレクティック形式は、第一階場理論の幾何学的に一貫した共変ハミルトニアン形式を提供し、レジェンドル bundle $\Pi$ が運動量位相空間として機能する。
• 超正則ラグランジュ量の場合、一意的な関連ハミルトニアン $\mathcal{H}$ が存在し、経路積分における生成関数 $Z$ は、運動量 $p^\mu_i(x)$ に関するガウス積分として与えられ、統合により元のラグランジュ量が回復される。
• ヤン–ミルズ理論を含む退化ラグランジュ量の場合、関連するハミルトニアン系は非自明なゲージ対称性を有し、引き戻しラグランジュ量 $L_\Pi$ に対して BV 量子化手順が適用可能である。
• 条件（45）は、垂直ベクトル場 $u$ が $Y \to X$ 上で $L_\Pi$ のゲージ対称性を誘導するための必要十分条件であり、それは元のラグランジュ量 $L$ のゲージ対称性と一致する。
• 閉埋め込み部分多様体 $N \subset \Pi$ 上の制約付きハミルトニアン系の経路積分量子化は、引き戻しラグランジュ量 $L_N$ の量子化と等価であり、ラグランジュ量が二次の場合、生成関数はガウス積分（40）として与えられる。
• BV 量子化手順は、標準的経路積分をほぼ正則ラグランジュ量へと一般化し、ゲージ不変性を保持しつつ、非自明なゲージ群を有する系の一貫した量子化を可能にする。